Um projéctil é lançado do nível do solo com velocidade v0 a um ângulo theta0 acima da horizontal. Determine as expressões para:
a) Altura máxima H atingida pelo projéctil.
b) Distância do ponto de lançamento o projéctil atinge o solo (alcance R ).

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Um projéctil é lançado do solo com velocidade num ângulo acima da horizontal. Queremos achar a altura máxima e o alcance .”
Conteúdo: cinemática de movimento uniformemente acelerado (queda livre no eixo vertical e movimento uniforme no eixo horizontal).
Vamos precisar de:
  • Decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical;
  • Usar as equações da cinemática ( , );
  • Conhecer a aceleração da gravidade ( ) e noções de trigonometria para projetar vetores.

Passo 2

Primeiro, decompor a velocidade inicial v0x = v0 costheta0, v0y = v0 sintheta0 em e :
Aqui usamos trig: o cosseno dá a projeção na horizontal, o seno na vertical.

Passo 3

Para achar a altura máxima vy = v0y - g,t, , note que no ponto mais alto a velocidade vertical 0 = v0sintheta0 - g,tsubida Longrightarrow tsubida = v0sintheta0g é zero. Pela equação
y = v0y t - tfrac12,g,t^2
fazemos H = v0sintheta0;v0sintheta0g ;-;tfrac12,g;l(v0sintheta0gr)^2 = (v0sintheta0)^22,g e achamos o tempo de subida :
Agora usamos a equação da posição vertical
para :

Passo 4

Para o alcance ttotal = 2,tsubida = 2,v0sintheta0g , precisamos do tempo total de voo. Como a subida leva R = v0x,ttotal = l(v0costheta0r), l(2,v0sintheta0gr) = 2,v0^2sintheta0costheta0g = v0^2sin(2theta0)g e a descida leva o mesmo tempo,
No eixo não há aceleração (movimento uniforme), então

Resposta

a) Altura máxima:
H = (v0sintheta0)^22,g
b) Alcance:
R = v0^2sin(2theta0)g

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