(1 ponto) NotasDeAulas [2024] Dê o conjunto Solução da inequação
x^2+3 x+1x-5+x^2-x-11-x<7

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação x^2+3x+1x-5 + x^2-x-11-x < 7. Aqui, estamos lidando com funções racionais e inequações. Para resolver isso, vamos precisar simplificar as frações, encontrar o domínio da inequação e, por fim, determinar os valores de x que satisfazem a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a segunda fração. Note que 1 - x é o mesmo que -(x - 1). Assim, podemos reescrever:
x^2-x-11-x = -x^2-x-1x-1
Isso torna a expressão mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, substituímos a segunda fração simplificada na inequação original:
x^2+3x+1x-5 - x^2-x-1x-1 < 7
Nosso próximo passo é combinar essas duas frações em uma única fração.

Passo 4

Para somar ou subtrair frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum aqui é (x-5)(x-1). Então, reescrevemos cada fração com esse denominador:
(x^2+3x+1)(x-1) - (x^2-x-1)(x-5)(x-5)(x-1) < 7

Passo 5

Agora, vamos expandir os numeradores:
Primeiro, expanda (x^2+3x+1)(x-1):
x^3 - x^2 + 3x^2 - 3x + x - 1 = x^3 + 2x^2 - 2x - 1
Em seguida, expanda (x^2-x-1)(x-5):
x^3 - 5x^2 - x^2 + 5x - x + 5 = x^3 - 6x^2 + 4x + 5

Passo 6

Subtraia o segundo resultado do primeiro:
(x^3 + 2x^2 - 2x - 1) - (x^3 - 6x^2 + 4x + 5) = 8x^2 - 6x - 6
Então, a inequação fica:
8x^2 - 6x - 6(x-5)(x-1) < 7

Passo 7

Vamos trazer tudo para um lado da inequação para facilitar a resolução. Subtraímos 7 dos dois lados:
8x^2 - 6x - 6(x-5)(x-1) - 7 < 0
Para combinar os termos, precisamos do mesmo denominador:
8x^2 - 6x - 6 - 7(x-5)(x-1)(x-5)(x-1) < 0

Passo 8

Primeiro, expanda 7(x-5)(x-1):
7(x^2 - 6x + 5) = 7x^2 - 42x + 35
Agora, subtraia isso do numerador:
8x^2 - 6x - 6 - (7x^2 - 42x + 35) = x^2 + 36x - 41
Então, nossa inequação fica:
x^2 + 36x - 41(x-5)(x-1) < 0

Passo 9

Agora, precisamos encontrar os valores de x que tornam a expressão negativa. Para isso, identificamos os zeros do numerador e do denominador:
Numerador: x^2 + 36x - 41 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -36 pm raiz36^2 + 4 cdot 412 = -36 pm raiz1296 + 1642 = -36 pm raiz14602
raiz1460 approx 38.2, então:
x approx -36 + 38.22 approx 1.1 e x approx -36 - 38.22 approx -37.1
Denominador: x - 5 = 0 Rightarrow x = 5 e x - 1 = 0 Rightarrow x = 1

Passo 10

Com os pontos críticos x approx -37.1, x = 1, x approx 1.1 e x = 5, vamos analisar os sinais da fração em cada intervalo:
  1. x < -37.1: A fração é positiva.
  2. -37.1 < x < 1: A fração é negativa.
  3. 1 < x < 1.1: A fração é positiva.
  4. 1.1 < x < 5: A fração é negativa.
  5. x > 5: A fração é positiva.
Estamos procurando onde a fração é menor que zero, ou seja, onde é negativa.

Resposta

A solução da inequação x^2+3x+1x-5 + x^2-x-11-x < 7 é:
-37.1 < x < 1 e 1.1 < x < 5
Ou, em intervalos:
x in (-37.1, 1) cup (1.1, 5)

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