(1 ponto) NotasDeAulas [2024] Dê o conjunto Solução da inequação
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos lidando com funções racionais e inequações. Para resolver isso, vamos precisar simplificar as frações, encontrar o domínio da inequação e, por fim, determinar os valores de
que satisfazem a condição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a segunda fração. Note que
é o mesmo que
. Assim, podemos reescrever:
Isso torna a expressão mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora, substituímos a segunda fração simplificada na inequação original:
Nosso próximo passo é combinar essas duas frações em uma única fração.
Passo 4
Para somar ou subtrair frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum aqui é
. Então, reescrevemos cada fração com esse denominador:
Passo 5
Agora, vamos expandir os numeradores:
Primeiro, expanda
:
Em seguida, expanda
:
Passo 6
Subtraia o segundo resultado do primeiro:
Então, a inequação fica:
Passo 7
Vamos trazer tudo para um lado da inequação para facilitar a resolução. Subtraímos 7 dos dois lados:
Para combinar os termos, precisamos do mesmo denominador:
Passo 8
Primeiro, expanda
:
Agora, subtraia isso do numerador:
Então, nossa inequação fica:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar os valores de
que tornam a expressão negativa. Para isso, identificamos os zeros do numerador e do denominador:
Numerador:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Denominador:
e
Passo 10
Com os pontos críticos
,
,
e
, vamos analisar os sinais da fração em cada intervalo:
-
: A fração é positiva. -
: A fração é negativa. -
: A fração é positiva. -
: A fração é negativa. -
: A fração é positiva.
Estamos procurando onde a fração é menor que zero, ou seja, onde é negativa.
Resposta
A solução da inequação
é:
Ou, em intervalos: