(Princípio da superposição) Se y=Phi1(x) é solução da EDO y^prime+p(x) y=q1(x) e y=Phi2(x) é solução da EDO y^prime+p(x)=q2(x), mostre que
Phi(x)=c1 Phi1(x)+c2(x) Phi2(x),
com c1, c2 in R, é solução da EDO y^prime+p(x) y=c1 q1(x)+c2 q2(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar o Princípio da Superposição em Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Temos duas soluções específicas:
  • y = Phi1(x) que resolve a EDO y' + p(x) y = q1(x)
  • y = Phi2(x) que resolve a EDO y' + p(x) y = q2(x)
Queremos mostrar que uma combinação linear dessas soluções, ou seja, Phi(x) = c1 Phi1(x) + c2 Phi2(x) (onde c1 e c2 são constantes reais), também é solução de uma nova EDO dada por y' + p(x) y = c1 q1(x) + c2 q2(x) .
Vamos precisar entender como a superposição funciona em EDOs e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa nova função Phi(x) como uma combinação linear das duas soluções dadas:
Phi(x) = c1 Phi1(x) + c2 Phi2(x)
Aqui, c1 e c2 são constantes que podem ser escolhidas conforme necessário.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de Phi(x) em relação a x . Usando a regra da derivada para combinações lineares:
Phi'(x) = c1 Phi1'(x) + c2 Phi2'(x)

Passo 4

Vamos substituir Phi(x) e Phi'(x) na nova EDO que queremos verificar:
Phi'(x) + p(x) Phi(x) = c1 q1(x) + c2 q2(x)
Substituindo as expressões que encontramos:
c1 Phi1'(x) + c2 Phi2'(x) + p(x) (c1 Phi1(x) + c2 Phi2(x)) = c1 q1(x) + c2 q2(x)

Passo 5

Vamos distribuir p(x) na expressão:
c1 Phi1'(x) + c2 Phi2'(x) + c1 p(x) Phi1(x) + c2 p(x) Phi2(x) = c1 q1(x) + c2 q2(x)
Agora, agrupamos os termos com c1 e c2 :
c1 (Phi1'(x) + p(x) Phi1(x)) + c2 (Phi2'(x) + p(x) Phi2(x)) = c1 q1(x) + c2 q2(x)

Passo 6

Lembrando que Phi1(x) e Phi2(x) são soluções das EDOs originais, temos:
Phi1'(x) + p(x) Phi1(x) = q1(x)
Phi2'(x) + p(x) Phi2(x) = q2(x)
Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
c1 q1(x) + c2 q2(x) = c1 q1(x) + c2 q2(x)
Isso confirma que a igualdade é verdadeira.

Resposta

Portanto, Phi(x) = c1 Phi1(x) + c2 Phi2(x) é de fato uma solução da EDO y' + p(x) y = c1 q1(x) + c2 q2(x) .

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