(Princípio da superposição) Se
é solução da EDO
e
é solução da EDO
, mostre que
, é solução da
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar o Princípio da Superposição em Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Temos duas soluções específicas:
-
que resolve a EDO -
que resolve a EDO
Queremos mostrar que uma combinação linear dessas soluções, ou seja,
(onde
e
são constantes reais), também é solução de uma nova EDO dada por
.
Vamos precisar entender como a superposição funciona em EDOs e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa nova função
como uma combinação linear das duas soluções dadas:
Aqui,
e
são constantes que podem ser escolhidas conforme necessário.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra da derivada para combinações lineares:
Passo 4
Vamos substituir
e
na nova EDO que queremos verificar:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos distribuir
na expressão:
Agora, agrupamos os termos com
e
:
Passo 6
Lembrando que
e
são soluções das EDOs originais, temos:
Substituindo essas igualdades na expressão anterior:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira.
Resposta
Portanto,
é de fato uma solução da EDO
.