Resolver as seguintes integrais usando a těcnica de integração por partes.
integral arccotg 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral arccotg(2x),dx
usando a técnica de integração por partes. Vamos lembrar que, para escolher u e dv, a ideia é simplificar a integral de u',v. Usaremos a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = arccotg(2x), dv = dx
Calculamos du e v:
v = integral dv = x.
Para du, usamos
ddx,arccotg(2x) = -21+(2x)^2 = -21+4x^2,
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du = -21+4x^2,dx

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral arccotg(2x),dx = x;arccotg(2x) - integral x;l(-21+4x^2r),dx = x,arccotg(2x) +2integral x1+4x^2,dx

Passo 4

Calculamos agora
integral x1+4x^2,dx
Fazendo a substituição w = 1+4x^2, temos dw = 8x,dx, ou seja x,dx = tfrac18dw. Portanto
integral x1+4x^2,dx = integral 1w,dw8 = 18lnl|wr| = 18lnl(1+4x^2r)

Passo 5

Voltando à integral original, obtemos
integral arccotg(2x),dx = x,arccotg(2x) +2cdot18lnl(1+4x^2r) = x,arccotg(2x) +14lnl(1+4x^2r) + C

Resposta

boxed integral arccotg(2x),dx = x,arccotg(2x) +14lnl(1+4x^2r) + C

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