(1 ponto) NotasDeAulas [2024] Resolva a equação |x-4|-|x+5|=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação |x - 4| - |x + 5| = 9 . Aqui, a gente está trabalhando com valores absolutos, que é uma parte da álgebra. Para resolver isso, vamos precisar separar a equação em diferentes casos, dependendo dos valores de x , para eliminar os valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, identificamos os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Essas expressões são x - 4 e x + 5 .
  • x - 4 = 0 quando x = 4
  • x + 5 = 0 quando x = -5
Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
  1. x < -5
  2. -5 <= x < 4
  3. x >= 4

Passo 3

Vamos analisar cada intervalo separadamente para eliminar os valores absolutos.
Intervalo 1: x < -5
Neste intervalo:
  • x - 4 é negativo, então |x - 4| = -(x - 4) = -x + 4
  • x + 5 é negativo, então |x + 5| = -(x + 5) = -x - 5
A equação fica:
(-x + 4) - (-x - 5) = 9
Simplificando:
- x + 4 + x + 5 = 9 9 = 9
Isso é sempre verdadeiro, mas precisamos verificar se faz sentido no intervalo x < -5 . Sim, qualquer x < -5 satisfaz a equação.
Intervalo 2: -5 <= x < 4
Neste intervalo:
  • x - 4 é negativo, então |x - 4| = -x + 4
  • x + 5 é positivo, então |x + 5| = x + 5
A equação fica:
(-x + 4) - (x + 5) = 9
Simplificando:
- x + 4 - x - 5 = 9 -2x -1 = 9 -2x = 10 x = -5
Verificamos se x = -5 está no intervalo -5 <= x < 4 . Sim, está.
Intervalo 3: x >= 4
Neste intervalo:
  • x - 4 é positivo, então |x - 4| = x - 4
  • x + 5 é positivo, então |x + 5| = x + 5
A equação fica:
(x - 4) - (x + 5) = 9
Simplificando:
x - 4 - x - 5 = 9 -9 = 9
Isso não é verdadeiro, então não há solução neste intervalo.

Resposta

As soluções da equação são todos os números x menores ou iguais a -5. Ou seja, x <= -5 .

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