Em um ponto de observação numa rodovia, faz-se a contagem dos veículos que passam. Seja X o intervalo de tempo entre a passagem de dois veículos consecutivos. Sob certas condições, podemos considerar que X tem a seguinte função de densidade:
f(x)=lambda e^-lambda x,, x>0, lambda>0
f(x)=0, caso contrário
Encontre F(x).

Passo 1

Beleza, então a questão diz que o tempo entre carros que passam na estrada (vamos chamar isso de f(x) = lambda e^-lambda x, & x>0, 0, & caso contrário ) segue uma distribuição exponencial com densidade
á
Isso é parte da matéria de variáveis aleatórias contínuas, mais especificamente da distribuição exponencial. Para achar a função de distribuição acumulada , a gente vai usar integração da densidade de 0 até .

Passo 2

O que é a função de distribuição acumulada? É
F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t),dt
Como F(x) = integral0^x lambda e^-lambda t,dt, x>0 para , o integral de até 0 não contribui. Então na prática:
Aqui a teoria: você está simplesmente somando (integrando) todas as “densidades” desde 0 até pra ver a probabilidade de cair nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular o integral
integral0^x lambda e^-lambda t,dt
  1. A primitiva de integral0^x lambda e^-lambda t,dt = lambda l[-tfrac1lambda e^-lambda tr]0^x = l[-e^-lambda tr]0^x é -e^-lambda x - l(-e^-lambdacdot0r) = -e^-lambda x + 1 = 1 - e^-lambda x .
  2. Então, puxando a constante pra fora,
  1. Avaliando em e :

Resposta

F(x) = 0, & x <= 0, 1 - e^-lambda x, & x > 0

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