Em um ponto de observação numa rodovia, faz-se a contagem dos veículos que passam. Seja X o intervalo de tempo entre a passagem de dois veículos consecutivos. Sob certas condições, podemos considerar que
tem a seguinte função de densidade:
, caso contrário
Encontre
.
Encontre
Passo 1
Beleza, então a questão diz que o tempo entre carros que passam na estrada (vamos chamar isso de
) segue uma distribuição exponencial com densidade
Isso é parte da matéria de variáveis aleatórias contínuas, mais especificamente da distribuição exponencial. Para achar a função de distribuição acumulada
, a gente vai usar integração da densidade de 0 até
.
Passo 2
O que é a função de distribuição acumulada? É
Como
para
, o integral de
até 0 não contribui. Então na prática:
Aqui a teoria: você está simplesmente somando (integrando) todas as “densidades” desde 0 até
pra ver a probabilidade de
cair nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular o integral
- A primitiva de
é . - Então, puxando a constante
pra fora,
- Avaliando em
e :