O tempo gasto, em minutos, para que um tanque de 2 litros seja enchido com uma mangueira, levando-se em consideração uma vazão volumétrica Q é uma variável aleatória contínua X, com uma função dada por:
f(x)=l 0 ; x<1 x4 ; 1 <= x <= 3 0 ; x>3
Verifique se f(x) é uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão tá dizendo que o tempo f(x)= 0, & x<1, dfracx4, & 1<= x<=3, 0, & x>3 para encher um tanque de 2 L com vazão tem densidade dada por
O conteúdo é “função densidade de probabilidade” (pdf) e os dois requisitos pra confirmar isso são:
  1. pra todo .
  2. .

Passo 2

Primeiro, a gente vê se é não-negativa.
  • Pra , . Tá ok, não é negativa.
  • Pra , . Como tá entre 1 e 3, fica entre e , ou seja, sempre .
  • Pra , de novo é zero.
    Conclusão: em todo lugar.

Passo 3

Agora, a gente precisa ver se a área total (integral) dá 1. Como integral-infty^inftyf(x),dx =integral1^3x4,dx fora de integral1^3x4,dx =14integral1^3x,dx =14[x^22]1^3 =14l(3^22-1^22r) =14l(9-12r) =14cdot82 =14cdot4 =1 , a gente integra só de 1 a 3:
Vamos calcular:

Resposta

Sim, satisfaz as duas condições (não-negatividade e integral igual a 1), logo é uma função densidade de probabilidade.

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