(1.5 ponto) Obtenha a função que tem Y(s)=e^-c ss^2+s-2 como transformada de Laplace, sendo c uma constante não nula.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente encontrar a função cuja transformada de Laplace é $ Y(s) = \frac{e^{-c s}}{s^{2} + s - 2} $, onde $ c $ é uma constante diferente de zero. A matéria envolvida aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa pra resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar entender como a transformada de Laplace se comporta com funções deslocadas no tempo e também usar frações parciais pra simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão $ Y(s) = \frac{e^{-c s}}{s^{2} + s - 2} $. O termo $ e^{-c s} $ na transformada de Laplace geralmente indica um deslocamento no tempo da função original. Mais precisamente, se $ F(s) $ é a transformada de uma função $ f(t) $, então $ e^{-c s} F(s) $ é a transformada de $ f(t - c) $ multiplicada pela função passo de Heaviside $ u(t - c) $.

Passo 3

Então, podemos reescrever $ Y(s) $ como $ e^{-c s} \cdot \frac{1}{s^{2} + s - 2} $. Nosso objetivo agora é encontrar a transformada inversa de $ \frac{1}{s^{2} + s - 2} $, que chamaremos de $ F(s) = \frac{1}{s^{2} + s - 2} $. Para isso, vamos fazer a decomposição em frações parciais.

Passo 4

Primeiro, fatoramos o denominador de $ F(s) $:
F(s)
Então, podemos escrever:
s^2 + s - 2 = (s + 2)(s - 1)
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 1)(s + 2) $ para eliminar os denominadores:
1(s - 1)(s + 2) = As - 1 + Bs + 2

Passo 5

Vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $ substituindo valores de $ s $ que simplificam a equação:
  • Para $ s = 1 $:
A
  • Para $ s = -2 $:
B
Então, a decomposição fica:
s

Passo 6

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s - a = e^a t
Aplicando isso aos termos:
L^-113 cdot 1s - 1 = 13 e^t
L^-1-13 cdot 1s + 2 = -13 e^-2 t
Então, a função original $ f(t) $ é:
f(t)

Passo 7

Lembrando que $ Y(s) = e^{-c s} F(s) $, e que $ \mathcal{L}{-1}{e{-c s} F(s)} = u(t - c) f(t - c) $, onde $ u(t - c) $ é a função de Heaviside que “liga” a função no instante $ t = c $.

Passo 8

Então, substituindo $ f(t) $ na expressão, temos:
f(t)

Resposta

A função que tem $ Y(s) = \frac{e^{-c s}}{s^{2} + s - 2} $ como transformada de Laplace é:
Y(s) = e^-c ss^2 + s - 2

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