(1.5 ponto) Obtenha a função que tem
como transformada de Laplace, sendo
uma constante não nula.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente encontrar a função cuja transformada de Laplace é $ Y(s) = \frac{e^{-c s}}{s^{2} + s - 2} $, onde $ c $ é uma constante diferente de zero. A matéria envolvida aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa pra resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar entender como a transformada de Laplace se comporta com funções deslocadas no tempo e também usar frações parciais pra simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão $ Y(s) = \frac{e^{-c s}}{s^{2} + s - 2} $. O termo $ e^{-c s} $ na transformada de Laplace geralmente indica um deslocamento no tempo da função original. Mais precisamente, se $ F(s) $ é a transformada de uma função $ f(t) $, então $ e^{-c s} F(s) $ é a transformada de $ f(t - c) $ multiplicada pela função passo de Heaviside $ u(t - c) $.
Passo 3
Então, podemos reescrever $ Y(s) $ como $ e^{-c s} \cdot \frac{1}{s^{2} + s - 2} $. Nosso objetivo agora é encontrar a transformada inversa de $ \frac{1}{s^{2} + s - 2} $, que chamaremos de $ F(s) = \frac{1}{s^{2} + s - 2} $. Para isso, vamos fazer a decomposição em frações parciais.
Passo 4
Primeiro, fatoramos o denominador de $ F(s) $:
Então, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por $ (s - 1)(s + 2) $ para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $ substituindo valores de $ s $ que simplificam a equação:
- Para $ s = 1 $:
- Para $ s = -2 $:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos termos:
Então, a função original $ f(t) $ é:
Passo 7
Lembrando que $ Y(s) = e^{-c s} F(s) $, e que $ \mathcal{L}{-1}{e{-c s} F(s)} = u(t - c) f(t - c) $, onde $ u(t - c) $ é a função de Heaviside que “liga” a função no instante $ t = c $.
Passo 8
Então, substituindo $ f(t) $ na expressão, temos:
Resposta
A função que tem $ Y(s) = \frac{e^{-c s}}{s^{2} + s - 2} $ como transformada de Laplace é: