(1.5 ponto) Obtenha a representação em série de potências em torno de
de
, sendo
uma constante positiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a representação em série de potências de uma função específica, $ f(x) = \frac{x^2}{c - x} $, onde $ c $ é uma constante positiva. A ideia é expressar essa função como uma soma infinita de potências de $ x $ em torno de $ x = 0 $. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da série geométrica e alguns truques de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(x) $ de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica. Podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, reconhecemos que a parte $ \frac{1}{1 - \frac{x}{c}} $ se parece com a forma da série geométrica, que é $ \frac{1}{1 - r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n $ para $ |r| < 1 $. Aqui, $ r = \frac{x}{c} $, então podemos expandir essa parte como uma série:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa série pela expressão que temos antes dela, que é $ \frac{x^2}{c} $:
Passo 5
Para deixar a série mais elegante, podemos reindexar a soma. Vamos substituir $ n $ por $ k-2 $, de modo que quando $ k = 2 $, $ n = 0 $:
Resposta
A representação em série de potências de $ f(x) = \frac{x^2}{c - x} $ em torno de $ x = 0 $ é: