Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são M(0, 1, 3), N(3, -2, 2) e P(1, 0, 2). Determinar a área do triângulo ABC.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá os pontos médios dos lados do triângulo ABC: M(0, 1, 3), N(3, -2, 2) e P(1, 0, 2). Nosso objetivo é descobrir a área do triângulo ABC. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como pontos médios e área de triângulos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto médio. O ponto médio de um segmento de reta é aquele que está exatamente no meio entre os dois extremos. Então, se M é o ponto médio de AB, podemos escrever:
M = A + B2
Onde $ A $ e $ B $ são os vértices do triângulo que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para os outros pontos médios:
N = B + C2
P = C + A2
Agora, temos três equações com três incógnitas (as coordenadas de A, B e C). Vamos resolver esse sistema para encontrar as coordenadas dos vértices.

Passo 4

Vamos representar os pontos A, B e C com suas coordenadas:
A = (xA, yA, zA)
B = (xB, yB, zB)
C = (xC, yC, zC)
Substituindo nas equações dos pontos médios:
Para M(0, 1, 3):
xA + xB2 = 0
yA + yB2 = 1
zA + zB2 = 3
Para N(3, -2, 2):
xB + xC2 = 3
yB + yC2 = -2
zB + zC2 = 2
Para P(1, 0, 2):
xC + xA2 = 1
yC + yA2 = 0
zC + zA2 = 2

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar $ x_A, y_A, z_A, x_B, y_B, z_B, x_C, y_C, z_C $.
Primeiro, da equação de M:
xA, yA, zA, xB, yB, zB, xC, yC, zC
xA + xB = 0 implies xA = -xB
yA + yB = 2 implies yA = 2 - yB
Da equação de N:
zA + zB = 6 implies zA = 6 - zB
xB + xC = 6 implies xC = 6 - xB
yB + yC = -4 implies yC = -4 - yB
Da equação de P:
zB + zC = 4 implies zC = 4 - zB
Substituindo $ x_A = -x_B $ e $ x_C = 6 - x_B $:
xC + xA = 2
Então, $ x_A = -2 $ e $ x_C = 6 - 2 = 4 $
Continuando para y:
xA = -xB
Substituindo $ y_A = 2 - y_B $ e $ y_C = -4 - y_B $:
xC = 6 - xB
Então, $ y_A = 2 - (-1) = 3 $ e $ y_C = -4 - (-1) = -3 $
Para z:
(6 - xB) + (-xB) = 2 implies 6 - 2xB = 2 implies -2xB = -4 implies xB = 2
Substituindo $ z_A = 6 - z_B $ e $ z_C = 4 - z_B $:
xA = -2
Então, $ z_A = 6 - 3 = 3 $ e ( z_C = 4 - 3 = 1 ]

Passo 6

Agora que temos as coordenadas dos vértices:
A = (-2, 3, 3)
B = (2, -1, 3)
C = (4, -3, 1)
Vamos calcular a área do triângulo ABC usando a fórmula da área no espaço tridimensional:
Área = 12 | AB times AC | Á
Onde $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $ são os vetores formados pelos lados do triângulo, e $ \times $ representa o produto vetorial.

Passo 7

Primeiro, vamos encontrar os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $:
AB
AC
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $:
AB = B - A = (2 - (-2), -1 - 3, 3 - 3) = (4, -4, 0)
Calculando o determinante:
AC = C - A = (4 - (-2), -3 - 3, 1 - 3) = (6, -6, -2)
AB times AC
AB times AC = i & j & k 4 & -4 & 0 6 & -6 & -2
i(-4 cdot (-2) - 0 cdot (-6)) - j(4 cdot (-2) - 0 cdot 6) + k(4 cdot (-6) - (-4) cdot 6)

Passo 8

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor:
| AB times AC | = raiz8^2 + 8^2 + 0^2 = raiz64 + 64 + 0 = raiz128 = 8raiz2
Finalmente, a área do triângulo ABC é:
Área = 12 times 8raiz2 = 4raiz2 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é $ 4\sqrt{2} $ unidades quadradas.

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