Os pontos médios dos lados do triângulo ABC são M(0, 1, 3), N(3, -2, 2) e P(1, 0, 2). Determinar a área do triângulo ABC.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá os pontos médios dos lados do triângulo ABC: M(0, 1, 3), N(3, -2, 2) e P(1, 0, 2). Nosso objetivo é descobrir a área do triângulo ABC. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como pontos médios e área de triângulos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto médio. O ponto médio de um segmento de reta é aquele que está exatamente no meio entre os dois extremos. Então, se M é o ponto médio de AB, podemos escrever:
Onde $ A $ e $ B $ são os vértices do triângulo que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos fazer o mesmo para os outros pontos médios:
Agora, temos três equações com três incógnitas (as coordenadas de A, B e C). Vamos resolver esse sistema para encontrar as coordenadas dos vértices.
Passo 4
Vamos representar os pontos A, B e C com suas coordenadas:
Substituindo nas equações dos pontos médios:
Para M(0, 1, 3):
Para N(3, -2, 2):
Para P(1, 0, 2):
Passo 5
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar $ x_A, y_A, z_A, x_B, y_B, z_B, x_C, y_C, z_C $.
Primeiro, da equação de M:
Da equação de N:
Da equação de P:
Substituindo $ x_A = -x_B $ e $ x_C = 6 - x_B $:
Então, $ x_A = -2 $ e $ x_C = 6 - 2 = 4 $
Continuando para y:
Substituindo $ y_A = 2 - y_B $ e $ y_C = -4 - y_B $:
Então, $ y_A = 2 - (-1) = 3 $ e $ y_C = -4 - (-1) = -3 $
Para z:
Substituindo $ z_A = 6 - z_B $ e $ z_C = 4 - z_B $:
Então, $ z_A = 6 - 3 = 3 $ e ( z_C = 4 - 3 = 1 ]
Passo 6
Agora que temos as coordenadas dos vértices:
Vamos calcular a área do triângulo ABC usando a fórmula da área no espaço tridimensional:
Onde $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $ são os vetores formados pelos lados do triângulo, e $ \times $ representa o produto vetorial.
Passo 7
Primeiro, vamos encontrar os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $:
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $:
Calculando o determinante:
Passo 8
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor:
Finalmente, a área do triângulo ABC é:
Resposta
A área do triângulo ABC é $ 4\sqrt{2} $ unidades quadradas.