Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial para o campo.
mathbfF(x, y)=(x+y) mathbfi+(x-y) mathbfj

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo F(x,y)=(x+y) i + (x-y) j é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi= F.

Passo 2

Para testar conservação em R^2, lembramos que um campo F=(P,Q) é conservativo se e somente se partial P/partial y=partial Q/partial x em uma região simplesmente conexa.
Aqui temos P(x,y)=x+y e Q(x,y)=x-y. Então
partial Ppartial y=1, partial Qpartial x=1

Passo 3

Como as derivadas mistas coincidem, o campo é conservativo. Agora procuramos phi satisfazendo
partial phipartial x=P=x+y, partial phipartial y=Q=x-y

Passo 4

Integramos P em relação a x:
phi(x,y)=integral (x+y),dx=x^22+xy+g(y),onde g(y) é função a determinar. Para encontrá-la, derivamos phi em relação a y e igualamos a Q:
partial phipartial y=x+g'(y)=x-y

Passo 5

Logo, g'(y)=-y, que integra para g(y)=-y^22+C. Então
phi(x,y)=x^22+xy-y^22+C

Resposta

Uma função potencial é phi(x,y)=tfracx^22+xy-tfracy^22+C, logo o campo é conservativo.

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