Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial para o campo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Para testar conservação em
, lembramos que um campo
é conservativo se e somente se
em uma região simplesmente conexa.
Aqui temos e
. Então
Aqui temos
Passo 3
Como as derivadas mistas coincidem, o campo é conservativo. Agora procuramos
satisfazendo
Passo 4
Integramos
em relação a
:
Passo 5
Logo,
, que integra para
. Então
Resposta
Uma função potencial é
, logo o campo é conservativo.