Mostre que as retas r e s são concorrentes, determine o ponto de interseção em cada item e obtenha uma equação geral do plano que contenha tais pontos.
r:(x, y, z)=(0,0,1)+lambda(1,-1,4) s: x-13=y-53=2+z5

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r:;(x,y,z)=(0,0,1)+lambda,(1,-1,4),
s:;x-13=y-53=2+z5
Precisamos mostrar que elas se intersectam (são concorrentes), encontrar o ponto de interseção e, em seguida, achar a equação geral do plano que contém ambas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos s em forma paramétrica. Seja mu=x-13=y-53=2+z5. Então
x=1+3mu, y=5+3mu, 2+z=5mu;Longrightarrow;z=5mu-2
Para que r e s coincidam num ponto, deve haver lambda e mu tais que
0+lambda = 1+3mu, 0-lambda = 5+3mu, 1+4lambda = 5mu-2

Passo 3

Resolvendo o sistema
lambda -3mu = 1, -lambda -3mu = 5,
somando as duas equações vem -6mu=6, logo mu=-1. Substituindo em lambda-3mu=1 obtém-se lambda=1+3(-1)=-2. Verifica-se que a terceira equação também bate.
O ponto de interseção P é dado por lambda=-2 em r:
P=(0,0,1)+(-2)(1,-1,4)=(-2,2,-7)

Passo 4

Duas retas que se cortam determinam um plano único. Esse plano contém o ponto e os vetores diretores de e :
O vetor normal do plano é

Passo 5

A equação do plano na forma geral, usando , é
ou, simplificando,

Resposta

As retas são concorrentes em P=(-2,2,-7) e a equação geral do plano que as contém é
-17x+7y+6z-6=0

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