Mostre que as retas e são concorrentes, determine o ponto de interseção em cada item e obtenha uma equação geral do plano que contenha tais pontos.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em :
Precisamos mostrar que elas se intersectam (são concorrentes), encontrar o ponto de interseção e, em seguida, achar a equação geral do plano que contém ambas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos em forma paramétrica. Seja . Então
Para que e coincidam num ponto, deve haver e tais que
Passo 3
Resolvendo o sistema
lambda -3mu = 1, -lambda -3mu = 5,
somando as duas equações vem -6mu=6, logo mu=-1. Substituindo em lambda-3mu=1 obtém-se lambda=1+3(-1)=-2. Verifica-se que a terceira equação também bate.
O ponto de interseção P é dado por lambda=-2 em r:
P=(0,0,1)+(-2)(1,-1,4)=(-2,2,-7)
Passo 4
Duas retas que se cortam determinam um plano único. Esse plano contém o ponto e os vetores diretores de e :
O vetor normal do plano é
Passo 5
A equação do plano na forma geral, usando , é
ou, simplificando,
Resposta
As retas são concorrentes em P=(-2,2,-7) e a equação geral do plano que as contém é