(1.0 ponto) Partindo das 4 quações de Maxwell na formulação integral (global),
deduza as correspondentes equações na formulação diferencial (local)
Descreva fisicamente o que cada uma das 4 equações de Maxwell significa e qual a importância da formulação local.
Passo 1
O enunciado pede para passar das quatro equações de Maxwell em forma integral para a forma diferencial, usando os teoremas de Gauss e de Stokes, e depois explicar o significado físico de cada uma e por que a formulação local é importante. Vamos precisar do teorema da divergência (para transformar integrais de superfície em divergências volumétricas) e do teorema de Stokes (para transformar integrais de linha em rotações, isto é, curls).
Passo 2
Aplicamos o teorema da divergência em
Como
, o teorema dá
Que vale para todo volume
, logo
De modo análogo, em
o teorema da divergência gera
Passo 3
Agora usamos o teorema de Stokes em
O lado esquerdo vira
e
. Como vale para qualquer superfície, obtemos
Passo 4
Finalmente aplicamos Stokes em
O teorema de Stokes dá
e, novamente valendo para toda superfície, obtemos
Resposta
1. Lei de Gauss para o campo elétrico
Física: as cargas elétricas são fontes
ou sumidouros
do campo elétrico.
2. Lei de Gauss para o campo magnético
Física: não existem monopolos magnéticos; as linhas de
são sempre fechadas.
3. Lei de Ampère–Maxwell
Física: correntes elétricas e campos elétricos variantes no tempo geram campo magnético.
4. Lei de Faraday
Física: um campo magnético que muda no tempo induz um campo elétrico.
Importância da formulação local: expressa as leis de Maxwell em cada ponto do espaço e instante de tempo, permitindo tratar problemas de propagação de ondas, acoplamento campo–matéria e formular as equações em meios contínuos de forma diferencial, fundamental para simulações e análises em eletrodinâmica.