(1.0 ponto) Partindo das 4 quações de Maxwell na formulação integral (global),
\begin{gathered} \oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S}=Q / \epsilon_{0} \\\ \oint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S}=0 \\\ \oint_{C} \vec{B} \cdot d \vec{\ell}=\mu_{0} I+\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{d}{d t} \int \vec{E} \cdot d \vec{S} \\\ \oint_{C} \vec{E} \cdot d \vec{\ell}=-\frac{d}{d t} \int \vec{B} \cdot d \vec{S} \end{gathered}
deduza as correspondentes equações na formulação diferencial (local)
\begin{gathered} \nabla \cdot \vec{E}=\rho / \epsilon_{0} \\\ \nabla \cdot \vec{B}=0 \\\ \nabla \times \vec{B}=\mu_{0}\left(\vec{j}+\epsilon_{0} \partial \vec{E} / \partial t\right) \\\ \nabla \times \vec{E}=-\partial \vec{B} / \partial t \end{gathered}
Descreva fisicamente o que cada uma das 4 equações de Maxwell significa e qual a importância da formulação local.

Passo 1

O enunciado pede para passar das quatro equações de Maxwell em forma integral para a forma diferencial, usando os teoremas de Gauss e de Stokes, e depois explicar o significado físico de cada uma e por que a formulação local é importante. Vamos precisar do teorema da divergência (para transformar integrais de superfície em divergências volumétricas) e do teorema de Stokes (para transformar integrais de linha em rotações, isto é, curls).

Passo 2

Aplicamos o teorema da divergência em
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} = Q/\epsilon_{0}
Como Q=\int_{V}\rho\,dV, o teorema dá
\int_{V}(\nabla\cdot\vec{E})\,dV = \frac{1}{\epsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dV
Que vale para todo volume V, logo
\nabla\cdot\vec{E} = \rho/\epsilon_{0}.
De modo análogo, em
\oint_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S} = 0
o teorema da divergência gera
\int_{V}(\nabla\cdot\vec{B})\,dV = 0 \quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot\vec{B} = 0.

Passo 3

Agora usamos o teorema de Stokes em
\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_{0}I + \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{d}{dt}\int_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}.
O lado esquerdo vira
\int_{S}(\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{S},
e I=\int_{S}\vec{j}\cdot d\vec{S}. Como vale para qualquer superfície, obtemos
\nabla\times\vec{B} = \mu_{0}\vec{j} + \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

Passo 4

Finalmente aplicamos Stokes em
\oint_{C}\vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\frac{d}{dt}\int_{S}\vec{B}\cdot d\vec{S}.
O teorema de Stokes dá
\int_{S}(\nabla\times\vec{E})\cdot d\vec{S} = -\int_{S}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S},
e, novamente valendo para toda superfície, obtemos
\nabla\times\vec{E} = -\,\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.

Resposta

1. Lei de Gauss para o campo elétrico
\nabla\cdot\vec{E} = \rho/\epsilon_{0}.
Física: as cargas elétricas são fontes \rho>0 ou sumidouros \rho<0 do campo elétrico.
2. Lei de Gauss para o campo magnético
\nabla\cdot\vec{B} = 0.
Física: não existem monopolos magnéticos; as linhas de \vec{B} são sempre fechadas.
3. Lei de Ampère–Maxwell
\nabla\times\vec{B} = \mu_{0}\bigl(\vec{j} + \epsilon_{0}\tfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\bigr).
Física: correntes elétricas e campos elétricos variantes no tempo geram campo magnético.
4. Lei de Faraday
\nabla\times\vec{E} = -\,\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}.
Física: um campo magnético que muda no tempo induz um campo elétrico.
Importância da formulação local: expressa as leis de Maxwell em cada ponto do espaço e instante de tempo, permitindo tratar problemas de propagação de ondas, acoplamento campo–matéria e formular as equações em meios contínuos de forma diferencial, fundamental para simulações e análises em eletrodinâmica.

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