Use a forma exponencial da série de Fourier para mostrar que para -\pi<x<\pi
e^{x}=\frac{\operatorname{senh} \pi}{\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{1-i n} e^{i n x} .

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier na forma exponencial de e^{x} no intervalo -\pi<x<\pi. Vamos usar o fato de que, para uma função f periódica de período 2\pi, sua expansão exponencial é
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx},
onde
c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx.
No nosso caso, f(x)=e^{x} estendida periodicamente.

Passo 2

Aplicamos a fórmula para o coeficiente c_{n}:
c_{n} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}e^{-inx}\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}\,dx.
Aqui usamos que e^{x}e^{-inx}=e^{(1-in)x}.

Passo 3

Calculamos a integral:
\int_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}\,dx =\left[\frac{e^{(1-in)x}}{1-in}\right]_{x=-\pi}^{x=\pi} =\frac{e^{(1-in)\pi}-e^{-(1-in)\pi}}{1-in}.

Passo 4

Simplificamos o numerador:
e^{(1-in)\pi}-e^{-(1-in)\pi} =e^{\pi}e^{-in\pi}-e^{-\pi}e^{in\pi} =(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr) =2(-1)^{n}\operatorname{senh}\pi.
Então
c_{n} =\frac{1}{2\pi}\,\frac{2(-1)^{n}\operatorname{senh}\pi}{1-in} =\frac{\operatorname{senh}\pi}{\pi}\,\frac{(-1)^{n}}{1-in}.

Passo 5

Substituindo c_{n} na expansão, obtemos para -\pi<x<\pi:
e^{x} =\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx} =\frac{\operatorname{senh}\pi}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{1-in}\,e^{inx}.

Resposta

e^{x} =\frac{\operatorname{senh}\pi}{\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{1-in}\,e^{inx}, \quad -\pi<x<\pi.

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