Seja r uma reta paralela a um vetor \vec{v} não nulo e que pa essa reta é possível determinar: equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas.
Escolha uma opção:
  • Verdadeiro
Falso
Se \vec{v} é um vetor diretor para a reta r, então -2 \vec{v} e (1+\sqrt{2}) \vec{v} também são vetores diretores para a reta r.
Escolha uma opção:
  • Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações do tipo verdadeiro/falso e pede que eu decida para cada uma. Vou listar claramente o que cada afirmação diz e quais dados são fornecidos.
Afirmação A: “Seja r uma reta paralela a um vetor \vec{v} não nulo e que para essa reta é possível determinar: equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas.”
Informações dadas: existe uma reta r paralela a um vetor \vec{v}\neq\vec{0}. A afirmação diz que, a partir disso, é possível determinar os três tipos de equações da reta.
Afirmação B: “Se \vec{v} é um vetor diretor para a reta r, então -2 \vec{v} e (1+\sqrt{2}) \vec{v} também são vetores diretores para a reta r.”
Informações dadas: \vec{v} é vetor diretor; consideram-se os vetores -2\vec{v} e (1+\sqrt{2})\vec{v} e perguntam se eles também servem como vetores diretores.

Passo 2

Vou lembrar e explicar bem o que significa escrever a equação de uma reta em cada forma, usando um ponto qualquer da reta e um vetor diretor. Isso é importante porque a validade da Afirmação A depende dessas definições.
Definição e notação: suponha que a reta r passa por um ponto P_0 de coordenadas (x_0,y_0,z_0) (pode ser em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3; aqui uso o caso 3D porque é mais geral) e que um vetor diretor é \vec{v}=(a,b,c) com \vec{v}\neq\vec{0} (ou seja, pelo menos um entre a,b,c é não nulo).
  • Equação vetorial: a reta é o conjunto dos vetores posição \vec{r} dados por
\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v},
onde \vec{r_0} é o vetor posição de P_0 (ou seja, \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0)) e t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Aqui cada termo significa: \vec{r} é o vetor até um ponto qualquer da reta, \vec{r_0} é o vetor até o ponto conhecido P_0, e t\vec{v} desloca ao longo da direção \vec{v}.
  • Equações paramétricas: escrevendo a componente por componente, a equação vetorial vira
x = x_0 + at,\qquad y = y_0 + bt,\qquad z = z_0 + ct,
com t\in\mathbb{R}. Cada igualdade dá a coordenada do ponto da reta em função do parâmetro t.
  • Equações simétricas: se todos os componentes a,b,c de \vec{v} são diferentes de zero, pode-se eliminar t e obter a forma simétrica
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.
Essa forma mostra que os quocientes são iguais ao parâmetro t. Importante: se algum componente, por exemplo a, for igual a zero, então a coordenada correspondente é constante x=x_0 e a parte simétrica deve ser escrita adaptada, por exemplo
x=x_0,\qquad \frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
(se b e c não são zero). Ou seja, a forma simétrica precisa ser ajustada quando algum componente do vetor diretor é zero.

Passo 3

Agora uso o que expliquei para decidir sobre a Afirmação A. A afirmação diz que, dado um vetor diretor \vec{v}\neq\vec{0} paralelo à reta r, “é possível determinar: equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas.”
  • A equação vetorial e as equações paramétricas são sempre possíveis: basta conhecer um ponto P_0 da reta (o enunciado que fala “para essa reta é possível determinar” presume que podemos escolher/identificar um ponto P_0 na reta — isso é parte normal de formular a equação de uma reta). Com \vec{v} não nulo e um P_0 temos imediatamente \vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v} e as paramétricas acima. Não há obstáculo matemático aqui.
  • A forma simétrica requer cuidado técnico: ela é escrita diretamente como \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} apenas quando a,b,c\neq 0. Mas mesmo se algum desses componentes for zero, ainda é possível descrever a reta em uma forma “simétrica adaptada”: colocamos a coordenada constante correspondente (por exemplo x=x_0 se a=0) e igualamos as outras razões. Em outras palavras, não é que a forma simétrica seja impossível quando um componente é zero: ela apenas precisa ser escrita com a adaptação adequada. Portanto afirmar que “é possível determinar … equações simétricas” é correto, no sentido usual de escrever a representação simétrica (com a observação que pode ser preciso adaptar para componentes nulas).
Conclusão do raciocínio: com \vec{v}\neq\vec{0} podemos sempre obter a equação vetorial e as paramétricas, e também podemos obter uma forma simétrica adequada (ou a forma padrão quando todos os componentes são não nulos). Assim a Afirmação A é verdadeira.
Exemplo rápido: tome P_0=(1,2,3) e \vec{v}=(0,4,5) (aqui a=0). Então
\vec{r}=(1,2,3)+t(0,4,5),
x=1,\qquad y=2+4t,\qquad z=3+5t,
e a “simétrica adaptada” é
x=1,\qquad \frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{5}.
Portanto funciona.

Passo 4

Agora explico e decido sobre a Afirmação B, que diz que se \vec{v} é vetor diretor então -2\vec{v} e (1+\sqrt{2})\vec{v} também são vetores diretores.
Conceito chave: vetores diretores de uma reta são vetores que apontam na mesma direção (ou na direção oposta) da reta; formalmente, se \vec{v} é vetor diretor, qualquer vetor da forma k\vec{v} com k\in\mathbb{R}\setminus\{0\} é também vetor diretor da mesma reta, porque ele é colinear com \vec{v}. O fator k apenas escala e possivelmente inverte o sentido (se k<0), mas não muda a reta. O caso k=0 não vale, pois 0\cdot\vec{v}=\vec{0} não pode ser vetor diretor (o vetor nulo não determina direção).
Aplicando isso à questão: os escalares considerados são k=-2 e k=1+\sqrt{2}. Ambos são diferentes de zero (note que 1+\sqrt{2}>0). Portanto ambos os vetores -2\vec{v} e (1+\sqrt{2})\vec{v} são múltiplos escalares não nulos de \vec{v} e, por consequência, são vetores diretores para a mesma reta r.
Posso mostrar também via equação: se a reta é \vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v}, então escrevendo s=(1/(-2))t ou s=(1/(1+\sqrt{2}))t reparametrizamos a reta com o novo vetor diretor e vemos que se escala por um k\neq0 é a mesma reta, apenas com parâmetro diferente.
Conclusão: Afirmação B é verdadeira.

Passo 5

Resumo didático final curto para fixar:
  • Ter um vetor diretor \vec{v}\neq\vec{0} e um ponto P_0 permite sempre escrever a equação vetorial e as paramétricas. A forma simétrica também é possível — se todos os componentes de \vec{v} são não nulos escreve-se diretamente a forma simétrica; se algum componente for zero adapta-se a forma (colocando a coordenada constante). Logo Afirmação A é verdadeira.
  • Multiplicar o vetor diretor por qualquer escalar não nulo produz outro vetor diretor da mesma reta; como -2 e 1+\sqrt{2} não são zero, ambos os vetores dados são vetores diretores. Logo Afirmação B é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro
Verdadeiro

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