Seja
uma reta paralela a um vetor
não nulo e que pa essa reta é possível determinar: equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas.
Escolha uma opção:
- Verdadeiro
Falso
Se
é um vetor diretor para a reta
, então
e
também são vetores diretores para a reta
.
Escolha uma opção:
- Verdadeiro
Falso
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações do tipo verdadeiro/falso e pede que eu decida para cada uma. Vou listar claramente o que cada afirmação diz e quais dados são fornecidos.
Afirmação A: “Seja
uma reta paralela a um vetor
não nulo e que para essa reta é possível determinar: equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas.”
Informações dadas: existe uma reta paralela a um vetor
. A afirmação diz que, a partir disso, é possível determinar os três tipos de equações da reta.
Informações dadas: existe uma reta
Afirmação B: “Se
é um vetor diretor para a reta
, então
e
também são vetores diretores para a reta
.”
Informações dadas: é vetor diretor; consideram-se os vetores
e
e perguntam se eles também servem como vetores diretores.
Informações dadas:
Passo 2
Vou lembrar e explicar bem o que significa escrever a equação de uma reta em cada forma, usando um ponto qualquer da reta e um vetor diretor. Isso é importante porque a validade da Afirmação A depende dessas definições.
Definição e notação: suponha que a reta
passa por um ponto
de coordenadas
(pode ser em
ou
; aqui uso o caso 3D porque é mais geral) e que um vetor diretor é
com
(ou seja, pelo menos um entre
é não nulo).
- Equação vetorial: a reta é o conjunto dos vetores posição
dados por
onde
é o vetor posição de
(ou seja,
) e
é o parâmetro. Aqui cada termo significa:
é o vetor até um ponto qualquer da reta,
é o vetor até o ponto conhecido
, e
desloca ao longo da direção
.
- Equações paramétricas: escrevendo a componente por componente, a equação vetorial vira
com
. Cada igualdade dá a coordenada do ponto da reta em função do parâmetro
.
- Equações simétricas: se todos os componentes
de são diferentes de zero, pode-se eliminar e obter a forma simétrica
Essa forma mostra que os quocientes são iguais ao parâmetro
. Importante: se algum componente, por exemplo
, for igual a zero, então a coordenada correspondente é constante
e a parte simétrica deve ser escrita adaptada, por exemplo
(se
e
não são zero). Ou seja, a forma simétrica precisa ser ajustada quando algum componente do vetor diretor é zero.
Passo 3
Agora uso o que expliquei para decidir sobre a Afirmação A. A afirmação diz que, dado um vetor diretor
paralelo à reta
, “é possível determinar: equação vetorial, equações paramétricas e equações simétricas.”
-
A equação vetorial e as equações paramétricas são sempre possíveis: basta conhecer um ponto
da reta (o enunciado que fala “para essa reta é possível determinar” presume que podemos escolher/identificar um ponto na reta — isso é parte normal de formular a equação de uma reta). Com não nulo e um temos imediatamente e as paramétricas acima. Não há obstáculo matemático aqui. -
A forma simétrica requer cuidado técnico: ela é escrita diretamente como
apenas quando . Mas mesmo se algum desses componentes for zero, ainda é possível descrever a reta em uma forma “simétrica adaptada”: colocamos a coordenada constante correspondente (por exemplo se ) e igualamos as outras razões. Em outras palavras, não é que a forma simétrica seja impossível quando um componente é zero: ela apenas precisa ser escrita com a adaptação adequada. Portanto afirmar que “é possível determinar … equações simétricas” é correto, no sentido usual de escrever a representação simétrica (com a observação que pode ser preciso adaptar para componentes nulas).
Conclusão do raciocínio: com
podemos sempre obter a equação vetorial e as paramétricas, e também podemos obter uma forma simétrica adequada (ou a forma padrão quando todos os componentes são não nulos). Assim a Afirmação A é verdadeira.
Exemplo rápido: tome
e
(aqui
). Então
e a “simétrica adaptada” é
Portanto funciona.
Passo 4
Agora explico e decido sobre a Afirmação B, que diz que se
é vetor diretor então
e
também são vetores diretores.
Conceito chave: vetores diretores de uma reta são vetores que apontam na mesma direção (ou na direção oposta) da reta; formalmente, se
é vetor diretor, qualquer vetor da forma
com
é também vetor diretor da mesma reta, porque ele é colinear com
. O fator
apenas escala e possivelmente inverte o sentido (se
), mas não muda a reta. O caso
não vale, pois
não pode ser vetor diretor (o vetor nulo não determina direção).
Aplicando isso à questão: os escalares considerados são
e
. Ambos são diferentes de zero (note que
). Portanto ambos os vetores
e
são múltiplos escalares não nulos de
e, por consequência, são vetores diretores para a mesma reta
.
Posso mostrar também via equação: se a reta é
, então escrevendo
ou
reparametrizamos a reta com o novo vetor diretor e vemos que se escala por um
é a mesma reta, apenas com parâmetro diferente.
Conclusão: Afirmação B é verdadeira.
Passo 5
Resumo didático final curto para fixar:
- Ter um vetor diretor
e um ponto permite sempre escrever a equação vetorial e as paramétricas. A forma simétrica também é possível — se todos os componentes de são não nulos escreve-se diretamente a forma simétrica; se algum componente for zero adapta-se a forma (colocando a coordenada constante). Logo Afirmação A é verdadeira. - Multiplicar o vetor diretor por qualquer escalar não nulo produz outro vetor diretor da mesma reta; como
e não são zero, ambos os vetores dados são vetores diretores. Logo Afirmação B é verdadeira.
Resposta
Verdadeiro
Verdadeiro
Verdadeiro