(1 ponto) Uma pesquisa realizada relatou que a proporção de brasileiros que leem a bula antes de consumir medicamentos sem prescrição médica é de 61 \%. Se uma amostra de tamanho 250 for selecionada de forma aleatória dessa população, qual a probabilidade de que a proporção amostral seja maior que 62 \% ?
(a) 0.4674
(b) 0.3745
(c) 0.5681
(d) 0.4840

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Proporção populacional: \;p=0{,}61.
  • Tamanho da amostra: \;n=250.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que a proporção amostral seja maior que \;0{,}62, isto é, calcular \;P\big(\hat p > 0{,}62\big).
    Não faço mais nada aqui além de listar o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Condição para usar a aproximação normal da proporção amostral:
  • Verifico \;np e \;n(1-p) para garantir que há número suficiente de sucessos e fracassos.
np = 250 \times 0{,}61 = 152{,}5,\qquad n(1-p)=250\times 0{,}39 = 97{,}5,
ambos bem maiores que 5, portanto a aproximação normal é adequada.
Teoria principal (explicação didática):
  • Quando a amostra é aleatória e n é grande, a proporção amostral \;\hat p é aproximadamente normal com média \;p e desvio padrão (erro padrão)
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}.
Isto vem do Teorema Central do Limite aplicado à soma de variáveis indicadoras: cada indivíduo contribui 1 (leu a bula) com probabilidade p ou 0 com probabilidade 1-p; a média dessas indicações tem média p e variância p(1-p)/n. Então
\hat p\approx \mathcal{N}\!\left(p,\; \dfrac{p(1-p)}{n}\right).

Passo 3

Calcular o erro padrão (SE) passo a passo:
p(1-p)=0{,}61\times 0{,}39 = 0{,}2379.
\frac{p(1-p)}{n}=\frac{0{,}2379}{250}=0{,}0009516.
\text{SE}(\hat p)=\sqrt{0{,}0009516}\approx 0{,}03085.
Explicando: eu somei o produto p(1-p), dividi por n para obter a variância da proporção e depois tirei a raiz quadrada para obter o desvio padrão (erro padrão). O valor aproximado do SE é \;0{,}03085.

Passo 4

Padronizar a diferença (transformar em Z):
  • Queremos \;P\big(\hat p > 0{,}62\big). Subtraindo a média e dividindo pelo SE, obtemos
Z=\frac{\hat p - p}{\text{SE}(\hat p)} \quad\Rightarrow\quad \frac{0{,}62-0{,}61}{0{,}03085} \approx \frac{0{,}01}{0{,}03085} \approx 0{,}3242.
Interpretação: \;Z\approx 0{,}3242 é o número de desvios-padrão que 0{,}62 está acima da média 0{,}61.

Passo 5

Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
  • A probabilidade buscada é
P\big(\hat p > 0{,}62\big) = P\big(Z > 0{,}3242\big) = 1 - \Phi(0{,}3242),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão.
  • Usando tabela da normal padrão ou calculadora, \Phi(0{,}3242)\approx 0{,}6275 (aproximação).
    Logo
P\big(\hat p > 0{,}62\big)\approx 1 - 0{,}6275 = 0{,}3725 \approx 0{,}373.
Comentário didático: você pode obter \Phi consultando uma tabela de áreas da normal, ou usando uma calculadora estatística; o importante é saber converter para Z e depois olhar a área correspondente.

Passo 6

Comparação com as alternativas:
  • O valor calculado \approx 0{,}373 é mais próximo da alternativa (b) que dá 0{,}3745. Em provas, escolhemos a alternativa cuja probabilidade está mais próxima do valor obtido pela aproximação normal.

Resposta

(b) 0{,}3745

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