(1 ponto) Uma pesquisa realizada relatou que a proporção de brasileiros que leem a bula antes de consumir medicamentos sem prescrição médica é de
. Se uma amostra de tamanho 250 for selecionada de forma aleatória dessa população, qual a probabilidade de que a proporção amostral seja maior que
?
(a) 0.4674
(b) 0.3745
(c) 0.5681
(d) 0.4840
(a) 0.4674
(b) 0.3745
(c) 0.5681
(d) 0.4840
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Proporção populacional:
. - Tamanho da amostra:
. - Pergunta: qual a probabilidade de que a proporção amostral seja maior que
, isto é, calcular .
Não faço mais nada aqui além de listar o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Condição para usar a aproximação normal da proporção amostral:
- Verifico
e para garantir que há número suficiente de sucessos e fracassos.
ambos bem maiores que
, portanto a aproximação normal é adequada.
Teoria principal (explicação didática):
- Quando a amostra é aleatória e
é grande, a proporção amostral é aproximadamente normal com média e desvio padrão (erro padrão)
Isto vem do Teorema Central do Limite aplicado à soma de variáveis indicadoras: cada indivíduo contribui 1 (leu a bula) com probabilidade
ou 0 com probabilidade
; a média dessas indicações tem média
e variância
. Então
Passo 3
Calcular o erro padrão (SE) passo a passo:
Explicando: eu somei o produto
, dividi por
para obter a variância da proporção e depois tirei a raiz quadrada para obter o desvio padrão (erro padrão). O valor aproximado do SE é
.
Passo 4
Padronizar a diferença (transformar em
):
- Queremos
. Subtraindo a média e dividindo pelo SE, obtemos
Interpretação:
é o número de desvios-padrão que
está acima da média
.
Passo 5
Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
- A probabilidade buscada é
onde
é a função distribuição acumulada da normal padrão.
- Usando tabela da normal padrão ou calculadora,
(aproximação).
Logo
Comentário didático: você pode obter
consultando uma tabela de áreas da normal, ou usando uma calculadora estatística; o importante é saber converter para
e depois olhar a área correspondente.
Passo 6
Comparação com as alternativas:
- O valor calculado
é mais próximo da alternativa que dá . Em provas, escolhemos a alternativa cuja probabilidade está mais próxima do valor obtido pela aproximação normal.
Resposta
(b)