(1 ponto) Suponha que o tempo de prova de um determinado atleta na maratona é uma variável aleatória ( X ) que segue uma distribuição com média de 126 minutos e desvio padrão de 4 minutos. Considerando que os tempos são independentes entre si, se esse atleta participar de 31 maratonas, qual é a probabilidade de que a média de seus tempos nas provas seja menor que 125 minutos?
(a) 0.0823
(b) 0.5415
(c) 0.4013
(d) 0.0263
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que a média dos tempos do atleta em 31 maratonas seja menor que 125 minutos, isto é, encontrar
P\!\left(\overline{X}<125\right).
Informações dadas:
\text{média populacional } \mu = 126,é
\text{desvio padrão populacional } \sigma = 4,ã
\text{tamanho da amostra } n = 31,
e os tempos são independentes entre si.
Passo 2
Qual método usar e por quê:
A quantidade que queremos é a probabilidade envolvendo a média amostral \overline{X}. Para isso usamos a distribuição da média amostral.
Se a variável X fosse normal, a média amostral teria distribuição normal exata. O enunciado só diz que X tem média e desvio padrão conhecidos, não afirma normalidade, mas como n=31 (tamanho razoavelmente grande) podemos aplicar o Teorema do Limite Central para aproximar a distribuição de \overline{X} por uma normal. Essa aproximação é padrão em provas quando n é da ordem de dezenas.
Portanto usaremos a distribuição normal (exata ou aproximada pelo TCL) da média amostral para calcular a probabilidade pedida.
Passo 3
Fórmula da distribuição da média amostral e significado das variáveis:
A média amostral \overline{X} tem (aproximadamente) distribuição normal com média igual à média populacional e desvio-padrão (erro padrão) igual a \sigma/\sqrt{n}. Em fórmula: