(1 ponto) Suponha que o tempo de prova de um determinado atleta na maratona é uma variável aleatória ( X ) que segue uma distribuição com média de 126 minutos e desvio padrão de 4 minutos. Considerando que os tempos são independentes entre si, se esse atleta participar de 31 maratonas, qual é a probabilidade de que a média de seus tempos nas provas seja menor que 125 minutos?
(a) 0.0823
(b) 0.5415
(c) 0.4013
(d) 0.0263

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a probabilidade de que a média dos tempos do atleta em 31 maratonas seja menor que 125 minutos, isto é, encontrar
P\!\left(\overline{X}<125\right).
Informações dadas:
\text{média populacional } \mu = 126,é
\text{desvio padrão populacional } \sigma = 4,ã
\text{tamanho da amostra } n = 31,
e os tempos são independentes entre si.

Passo 2

Qual método usar e por quê:
  • A quantidade que queremos é a probabilidade envolvendo a média amostral \overline{X}. Para isso usamos a distribuição da média amostral.
  • Se a variável X fosse normal, a média amostral teria distribuição normal exata. O enunciado só diz que X tem média e desvio padrão conhecidos, não afirma normalidade, mas como n=31 (tamanho razoavelmente grande) podemos aplicar o Teorema do Limite Central para aproximar a distribuição de \overline{X} por uma normal. Essa aproximação é padrão em provas quando n é da ordem de dezenas.
  • Portanto usaremos a distribuição normal (exata ou aproximada pelo TCL) da média amostral para calcular a probabilidade pedida.

Passo 3

Fórmula da distribuição da média amostral e significado das variáveis:
A média amostral \overline{X} tem (aproximadamente) distribuição normal com média igual à média populacional e desvio-padrão (erro padrão) igual a \sigma/\sqrt{n}. Em fórmula:
\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),
onde
  • \mu é a média populacional ( \mu=126),
  • \sigma é o desvio-padrão populacional ( \sigma=4),
  • n é o tamanho da amostra ( n=31),
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média, ou seja, o desvio-padrão da distribuição de \overline{X}.

Passo 4

Calcular o erro padrão numericamente:
Primeiro calculamos \sqrt{n}=\sqrt{31}. Aproximação:
\sqrt{31}\approx 5,567764\ldots
Logo o erro padrão é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{4}{\sqrt{31}}\approx \frac{4}{5,567764}\approx 0,718.
Explicação curta: o erro padrão mede quanto a média amostral costuma variar em torno de \mu; com n maior ele diminui, porque \sqrt{n} aumenta.

Passo 5

Padronizar para usar a tabela normal padrão:
Definimos a estatística Z padrão
Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.
Substituindo os valores para o ponto \overline{X}=125:
z=\frac{125-126}{0,718}\approx \frac{-1}{0,718}\approx -1,392.
Interpretação: z é o número de erros-padrão que 125 está abaixo da média 126.

Passo 6

Calcular a probabilidade usando a normal padrão:
Queremos
P(\overline{X}<125)=P\left(Z< -1,392\right).
Usando tabela da normal padrão (ou calculadora), para z=1,392 a cauda superior tem valor \Phi(1,392)\approx 0,9177, e pela simetria da normal
\Phi(-1,392)=1-\Phi(1,392)\approx 1-0,9177=0,0823.
Logo a probabilidade pedida é aproximadamente 0,0823.

Passo 7

Conclusão final: comparando com as alternativas fornecidas, o valor corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) 0,0823

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