(1 ponto) Seja X\) uma variável aleatória contínua com função de densidade: \[f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{5}{4 x^{2}}, & \text { se } 1 \leq x \leq 5 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
Qual é a a esperança de (X] ?
(a) 4.04
(b) 8.14
(c) 9.04
(d) 5.00

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de uma variável aleatória contínua X\): \[f_{X}(x)= \begin{cases}\dfrac{5}{4 x^{2}}, & \text{se }1\le x\le 5,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
A pergunta é: qual é a esperança (valor esperado) de X\]? São dadas quatro alternativas: (a) \(4,04, (b) 8,14, (c) 9,04, (d) 5,00.]

Passo 2

Definição que vamos usar (explicando o que cada coisa significa):
\text{A esperança de }X\text{ é } \mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_{X}(x)\,dx.çé
Aqui \mathbb{E}[X] é o valor médio (esperado) de X; x é a variável de integração; f_{X}(x) é a densidade de probabilidade. Como f_{X}(x)=0 fora de [1,5], a integral se reduz ao intervalo [1,5].

Passo 3

Montamos a integral do valor esperado usando a densidade dada:
\mathbb{E}[X]=\int_{1}^{5} x\cdot \frac{5}{4x^{2}}\,dx.
Agora simplificamos a expressão dentro da integral: x\cdot \dfrac{5}{4x^{2}}=\dfrac{5}{4}\cdot x^{-1}. Assim
\mathbb{E}[X]=\frac{5}{4}\int_{1}^{5} x^{-1}\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular \int x^{-1}\,dx. Lembrete rápido (aula curta): a primitiva de x^{-1} é a função logarítmica natural \ln x. Ou seja,
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
Aqui \ln x é o logaritmo natural (base e). Essa é uma primitiva padrão que você deve lembrar para integrais do tipo 1/x.

Passo 5

Aplicando a primitiva no intervalo [1,5]:
\mathbb{E}[X]=\frac{5}{4}\big[\ln x\big]_{1}^{5}=\frac{5}{4}\big(\ln 5-\ln 1\big).
Como \ln 1=0, fica
\mathbb{E}[X]=\frac{5}{4}\ln 5.

Passo 6

Vamos obter uma aproximação numérica para facilitar a comparação com as alternativas. Sabendo que \ln 5\approx 1,6094379,
\mathbb{E}[X]\approx \frac{5}{4}\times 1,6094379 \approx 1,25\times 1,6094379 \approx 2,0117974.
Arredondando razoavelmente, \mathbb{E}[X]\approx 2,0118.

Passo 7

Verificação rápida da validade da densidade (só para ficar seguro): a integral de f_X em [1,5] é
\int_{1}^{5}\frac{5}{4x^{2}}\,dx=\frac{5}{4}\big[-x^{-1}\big]_{1}^{5}=\frac{5}{4}\big(-\tfrac{1}{5}+1\big)=1,
portanto f_X é uma densidade válida. Observação prática: algumas pessoas podem errar e integrar \int 1/x\,dx como se fosse x, obtendo \frac{5}{4}(5-1)=5 (alternativa (d)), mas isso está incorreto porque a primitiva correta de 1/x é \ln x, não x.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}\ln 5 \approx 2,0118

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