(1 ponto) Seja
Qual é a a esperança de (X] ?
(a) 4.04
(b) 8.14
(c) 9.04
(d) 5.00
(a) 4.04
(b) 8.14
(c) 9.04
(d) 5.00
Passo 1
O enunciado fornece a função densidade de uma variável aleatória contínua
A pergunta é: qual é a esperança (valor esperado) de
, (b)
, (c)
, (d)
.]
Passo 2
Definição que vamos usar (explicando o que cada coisa significa):
Aqui
é o valor médio (esperado) de
;
é a variável de integração;
é a densidade de probabilidade. Como
fora de
, a integral se reduz ao intervalo
.
Passo 3
Montamos a integral do valor esperado usando a densidade dada:
Agora simplificamos a expressão dentro da integral:
. Assim
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Lembrete rápido (aula curta): a primitiva de
é a função logarítmica natural
. Ou seja,
Aqui
é o logaritmo natural (base
). Essa é uma primitiva padrão que você deve lembrar para integrais do tipo
.
Passo 5
Aplicando a primitiva no intervalo
:
Como
, fica
Passo 6
Vamos obter uma aproximação numérica para facilitar a comparação com as alternativas. Sabendo que
,
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 7
Verificação rápida da validade da densidade (só para ficar seguro): a integral de
em
é
portanto
é uma densidade válida. Observação prática: algumas pessoas podem errar e integrar
como se fosse
, obtendo
(alternativa (d)), mas isso está incorreto porque a primitiva correta de
é
, não
.