(2,0 pontos) Calcule, caso exista e justifique caso não exista os seguintes limites:

Passo 1

Vamos calcular o limite em duas variáveis: lim(x,y)to(0,0) y^2cos(x+pi2)3x^4+y^2. O conteúdo aqui é limite em várias variáveis; vamos usar identidade trigonométrica e desigualdades para estimar o valor da função.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica cos(x+tfracpi2) = -sin x. Assim nosso problema vira f(x,y)=-y^2sin x3x^4+y^2.

Passo 3

Para mostrar que f(x,y)to0, avaliamos o valor absoluto e aplicamos desigualdades. Temos
|f(x,y)|=|y^2sin x|3x^4+y^2<=|y^2,x|3x^4+y^2<=|y^2,x|y^2=|x|

Passo 4

Como |x|to0 quando (x,y)to(0,0), por confronto concluímos que f(x,y)to0.

Resposta

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