( 1,5 ponto) 2. Prove que se n^2 não é múltiplo de 3 , então n também não é múltiplo de 3 , usando o método da contrapositiva.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que se $ n^{2} $ não é múltiplo de 3, então $ n $ também não é múltiplo de 3. Vamos usar o método da contrapositiva para resolver isso. Basicamente, vamos provar que a negação do que queremos mostrar também é verdadeira, o que garante que a afirmação original está correta. Para isso, vamos precisar entender o que significa um número ser múltiplo de 3 e como funciona a contrapositiva na lógica matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser múltiplo de 3. Um número $ n $ é múltiplo de 3 se existe um inteiro $ k $ tal que $ n = 3k $. Isso vale para qualquer número inteiro.
Agora, o método da contrapositiva afirma que para provar uma afirmação do tipo “Se A, então B”, podemos provar “Se não B, então não A”. Se a contrapositiva for verdadeira, a afirmação original também é verdadeira.
No nosso caso, a afirmação original é:
“Se $ n^{2} $ não é múltiplo de 3, então $ n $ não é múltiplo de 3.”
A contrapositiva dessa afirmação é:
“Se $ n $ é múltiplo de 3, então $ n^{2} $ é múltiplo de 3.”
Vamos provar essa contrapositiva.

Passo 3

Assumimos que $ n $ é múltiplo de 3. Ou seja, existe um inteiro $ k $ tal que:
n
Agora, vamos calcular $ n^{2} $:
k
Podemos ver que $ n^{2} $ é igual a 3 vezes o número $ 3k^{2} $. Como $ 3k^{2} $ é um inteiro (porque $ k $ é inteiro), concluímos que $ n^{2} $ é múltiplo de 3.

Resposta

Portanto, provamos que se $ n^{2} $ não é múltiplo de 3, então $ n $ também não é múltiplo de 3, utilizando o método da contrapositiva.

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