(1,5 ponto) 1. Prove que o produto de dois números impares é sempre impar.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados dois números ímpares, o produto entre eles também é ímpar. O conteúdo envolvido é a definição de números ímpares e as propriedades básicas de multiplicação de inteiros.

Passo 2

Para usar a definição de número ímpar, representamos genericamente dois ímpares. Seja m e n inteiros ímpares. Então existem k,linZ tais que
m = 2k + 1
e
n = 2l + 1
Essa é a forma padrão de qualquer número ímpar.

Passo 3

Agora fazemos o produto
m cdot n = (2k + 1)(2l + 1)
Usando a propriedade distributiva, expandimos:
(2k + 1)(2l + 1) = 2kcdot 2l + 2kcdot 1 + 1cdot 2l + 1cdot 1 = 4kl + 2k + 2l + 1

Passo 4

Agrupamos os termos que são múltiplos de 2 e isolamos o +1:
4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1
Como 2kl + k + l é inteiro, chamando-o de m', temos o produto na forma 2m' + 1, que é exatamente a definição de número ímpar. Portanto, o produto de m e n é ímpar.

Resposta

Como o produto de dois números ímpares pode ser escrito na forma 2m'+1, concluímos que ele é sempre ímpar.

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