(2,0 pontos) 7. Esboce o gráfico da função g(x)=x-x^3

Passo 1

O problema pede para esboçar o gráfico da função g(x)=x−x³; isso envolve estudo de zeros, derivadas para extremos, concavidade e comportamento nos extremos do domínio. Vamos usar derivadas para encontrar extremos locais e ponto de inflexão, além de achar interceptos com os eixos.

Passo 2

Determinar domínio e zeros de g(x). O domínio é todo ℝ, pois g(x) é polinomial. Os zeros satisfazem x−x³=0, ou seja x(1−x²)=0, logo x=−1,0,1. Assim o gráfico intercepta o eixo x em (−1,0), (0,0) e (1,0).

Passo 3

Calcular a derivada primeira para achar pontos críticos. Temos
g'(x)=1−3x² ²
Os pontos críticos ocorrem quando g’(x)=0, ou seja 1−3x²=0 ⇒ x=±1/√3.

Passo 4

Classificar esses extremos usando a segunda derivada. A segunda derivada é
g''(x)=−6x
Em x=−1/√3, g’’(−1/√3)=−6(−1/√3)=6/√3>0, logo mínimo local em x=−1/√3. Em x=1/√3, g’’(1/√3)=−6(1/√3)=−6/√3<0, logo máximo local em x=1/√3. Os valores de g nesses pontos são
gl(±1/raiz3r)=±1raiz3−l(±1raiz3r)^3=±23raiz3 .

Passo 5

Analisar monotonicidade e concavidade. g’(x)>0 quando |x|<1/√3 (cresce em (−1/√3,1/√3)) e g’(x)<0 quando |x|>1/√3 (decresce em (−∞,−1/√3) e (1/√3,∞)). A concavidade vem de g’’(x): concava para cima quando g’’(x)>0 (x<0) e para baixo quando g’’(x)<0 (x>0), com ponto de inflexão em x=0.

Passo 6

Estudar comportamento nas extremidades do domínio. Quando x→+∞, o termo −x³ domina, então g(x)→−∞. Quando x→−∞, −x³→+∞, logo g(x)→+∞. Com todas essas informações, podemos esboçar a curva: intercepta (-1,0),(0,0),(1,0), tem mínimo local em (−1/√3,−2/(3√3)), máximo local em (1/√3,2/(3√3)), inflexão em (0,0), decresce nos intervalos indicados e muda concavidade em 0.

Resposta

O gráfico de g(x)=x−x³ é uma cúbica ímpar que:

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