(1,0 ponto) Questão 1 - Uma nave espacial viaja a uma velocidade constante de \boldsymbol{v}=\mathbf{0 , 9 c} em relação à Terra. Um observador na Terra analisa os efeitos relativisticos associados ao movimento da nave. Com base nisso, classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(F) Para o observador na Terra, o tempo medido para o experimento dentro da nave é menor do que o tempo próprio medido dentro da nave.
(V) o comprimento da nave, medido por um observador na Terra, parece menor do que o comprimento medido pelo astronauta.
(V) Se a nave estiver se afastando da Terra, a luz emitida por ela será observada com frequência aumentada (desvio para o azul).
(V) O observador na Terra percebe os relógios da nave como passando mais devagar, e o comprimento da nave como contraído.
(F) Se a nave estiver se aproximando da Terra, a luz que ela emite será observada com desvio para o azul.

Passo 1

O enunciado dá que a nave viaja com velocidade constante em relação à Terra: v=0,9c. Um observador na Terra analisa efeitos relativísticos associados ao movimento da nave e pede para classificar as cinco afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F):
  1. Para o observador na Terra, o tempo medido para o experimento dentro da nave é menor do que o tempo próprio medido dentro da nave.
  2. O comprimento da nave, medido por um observador na Terra, parece menor do que o comprimento medido pelo astronauta.
  3. Se a nave estiver se afastando da Terra, a luz emitida por ela será observada com frequência aumentada (desvio para o azul).
  4. O observador na Terra percebe os relógios da nave como passando mais devagar, e o comprimento da nave como contraído.
  5. Se a nave estiver se aproximando da Terra, a luz que ela emite será observada com desvio para o azul.
O objetivo agora é analisar cada afirmação com explicações passo a passo e fórmulas, usando v=0,9c quando for útil.

Passo 2

Tempo próprio e dilatação do tempo — conceito e fórmula (aula rápida e prática).
  • Definição: o tempo próprio \Delta \tau é o intervalo de tempo medido num relógio que está no mesmo lugar onde os eventos ocorrem (por exemplo, um experimento que começa e termina dentro da nave, medido por um relógio fixo na nave).
  • Quando um relógio se move relativo a um observador, esse observador mede um intervalo maior (isso chama-se dilatação do tempo). A relação é
\Delta t=\gamma\,\Delta \tau,
onde \Delta t é o intervalo medido pelo observador que vê o relógio em movimento, e
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}},\qquad \beta=\frac{v}{c}.
Explicando: \gamma é um fator maior que 1 que diz quanto o tempo “esticou” na observação externa.
Aplicando a v=0,9c:
\beta=0,9, \qquad 1-\beta^{2}=1-0,9^{2}=1-0,81=0,19,
\gamma=\frac{1}{\sqrt{0,19}}\approx2,294\ldots
Isto significa que um intervalo que para o astronauta é \Delta \tau será visto pela Terra como \Delta t\approx2,294\,\Delta \tau: o observador na Terra vê os relógios da nave correrem mais devagar (intervalos maiores entre tic-tacs medidos aqui).
Conclusão sobre a afirmação 1: ela diz que, para o observador na Terra, o tempo medido para o experimento dentro da nave é menor do que o tempo próprio. Isso contraria a fórmula (a Terra mede um tempo maior). Logo a afirmação 1 é FALSA.
Também já podemos confirmar a parte de relógios da afirmação 4 (primeira metade): é verdadeira — a Terra percebe os relógios da nave passando mais devagar.

Passo 3

Contração de comprimento — conceito e fórmula (aula prática).
  • Definição: o comprimento próprio L_{0} é o comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso (aqui: o astronauta mede L_{0} da nave).
  • Um observador que vê o objeto se movendo mede um comprimento contraído L dado por
L=\frac{L_{0}}{\gamma},
onde \gamma é o mesmo fator da dilatação do tempo. Explicando: o comprimento na direção do movimento parece menor para quem observa o objeto em movimento.
Com \gamma\approx2,294 obtém-se
L\approx\frac{L_{0}}{2,294}\approx0,436\,L_{0},
ou seja, a nave parece ter menos da metade do comprimento medido pelo astronauta.
Conclusão sobre a afirmação 2: ela diz que o comprimento medido por um observador na Terra parece menor que o comprimento medido pelo astronauta — isso é CORRETO. A afirmação 2 é VERDADEIRA.
Conclusão sobre a segunda metade da afirmação 4: “o comprimento da nave como contraído” também é correto. Portanto a afirmação 4 (relógios mais devagar e comprimento contraído) é VERDADEIRA como um todo.

Passo 4

Efeito Doppler relativístico (luz) — fórmula, interpretação e aplicação numérica.
  • Para fontes que se movem diretamente ao longo da linha de visada, a frequência observada f_{\text{obs}} em relação à frequência emitida f_{\text{src}} é dada por (forma conveniente)
f_{\text{obs}}=f_{\text{src}}\sqrt{\frac{1\pm\beta}{1\mp\beta}}.
A escolha dos sinais: use o sinal superior + no numerador quando a fonte está se aproximando (aumenta a frequência — azul), e escolha o sinal inferior - no numerador quando a fonte está se afastando (diminui a frequência — vermelho). Outra forma equivalente é
f_{\text{obs}}=f_{\text{src}}\,\gamma(1\pm\beta),
onde + é aproximação e - é afastamento (essas formas são matematicamente equivalentes para o caso de trajetória colinear).
Aplicando \beta=0,9 e \gamma\approx2,294:
  • Aproximação (esperado: aumento de frequência, azul):
f_{\text{obs}}=f_{\text{src}}\,\gamma(1+\beta)\approx f_{\text{src}}\cdot2,294\cdot(1+0,9)=f_{\text{src}}\cdot2,294\cdot1,9\approx f_{\text{src}}\cdot4,359.
Portanto a frequência observada fica cerca de 4{,}36 vezes maior — claro desvio para o azul.
  • Afastamento (esperado: diminuição de frequência, vermelho):
f_{\text{obs}}=f_{\text{src}}\,\gamma(1-\beta)\approx f_{\text{src}}\cdot2,294\cdot(1-0,9)=f_{\text{src}}\cdot2,294\cdot0,1\approx f_{\text{src}}\cdot0,2294.
A frequência cai para cerca de 0{,}23 vezes a original — desvio para o vermelho.
Agora avaliando as afirmações sobre cor/shift:
  • Afirmação 3 dizia que se a nave estiver se afastando, a luz será observada com frequência aumentada (azul). Pelo cálculo, quando afasta a frequência diminui (vermelho). Logo a afirmação 3 é FALSA.
  • Afirmação 5 dizia que se a nave estiver se aproximando, a luz será observada com desvio para o azul. Pelo cálculo, isso é correto. Portanto a afirmação 5 é VERDADEIRA.

Passo 5

Resumo e aviso sobre confusões típicas.
  • Resumo rápido: quem está no mesmo referencial que o evento (a nave, para o experimento interno) mede o tempo próprio e o comprimento próprio; observadores externos veem o tempo dilatado (mais longo) e o comprimento contraído (menor).
  • Sobre luz: aproximação → frequência aumenta (azul); afastamento → frequência diminui (vermelho). Cuidado: existe também o chamado deslocamento transversal e efeitos finos, mas para os casos diretos “aproxima/afasta” a regra acima vale e responde as afirmações do enunciado.

Resposta

  1. F
  2. V
  3. F
  4. V
  5. V

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