(1,0 ponto) Questão 1 - Uma nave espacial viaja a uma velocidade constante de
em relação à Terra. Um observador na Terra analisa os efeitos relativisticos associados ao movimento da nave. Com base nisso, classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F):
(F) Para o observador na Terra, o tempo medido para o experimento dentro da nave é menor do que o tempo próprio medido dentro da nave.
(V) o comprimento da nave, medido por um observador na Terra, parece menor do que o comprimento medido pelo astronauta.
(V) Se a nave estiver se afastando da Terra, a luz emitida por ela será observada com frequência aumentada (desvio para o azul).
(V) O observador na Terra percebe os relógios da nave como passando mais devagar, e o comprimento da nave como contraído.
(F) Se a nave estiver se aproximando da Terra, a luz que ela emite será observada com desvio para o azul.
(F) Para o observador na Terra, o tempo medido para o experimento dentro da nave é menor do que o tempo próprio medido dentro da nave.
(V) o comprimento da nave, medido por um observador na Terra, parece menor do que o comprimento medido pelo astronauta.
(V) Se a nave estiver se afastando da Terra, a luz emitida por ela será observada com frequência aumentada (desvio para o azul).
(V) O observador na Terra percebe os relógios da nave como passando mais devagar, e o comprimento da nave como contraído.
(F) Se a nave estiver se aproximando da Terra, a luz que ela emite será observada com desvio para o azul.
Passo 1
O enunciado dá que a nave viaja com velocidade constante em relação à Terra:
. Um observador na Terra analisa efeitos relativísticos associados ao movimento da nave e pede para classificar as cinco afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F):
- Para o observador na Terra, o tempo medido para o experimento dentro da nave é menor do que o tempo próprio medido dentro da nave.
- O comprimento da nave, medido por um observador na Terra, parece menor do que o comprimento medido pelo astronauta.
- Se a nave estiver se afastando da Terra, a luz emitida por ela será observada com frequência aumentada (desvio para o azul).
- O observador na Terra percebe os relógios da nave como passando mais devagar, e o comprimento da nave como contraído.
- Se a nave estiver se aproximando da Terra, a luz que ela emite será observada com desvio para o azul.
O objetivo agora é analisar cada afirmação com explicações passo a passo e fórmulas, usando
quando for útil.
Passo 2
Tempo próprio e dilatação do tempo — conceito e fórmula (aula rápida e prática).
- Definição: o tempo próprio
é o intervalo de tempo medido num relógio que está no mesmo lugar onde os eventos ocorrem (por exemplo, um experimento que começa e termina dentro da nave, medido por um relógio fixo na nave). - Quando um relógio se move relativo a um observador, esse observador mede um intervalo maior (isso chama-se dilatação do tempo). A relação é
onde
é o intervalo medido pelo observador que vê o relógio em movimento, e
Explicando:
é um fator maior que 1 que diz quanto o tempo “esticou” na observação externa.
Aplicando a
:
Isto significa que um intervalo que para o astronauta é
será visto pela Terra como
: o observador na Terra vê os relógios da nave correrem mais devagar (intervalos maiores entre tic-tacs medidos aqui).
Conclusão sobre a afirmação 1: ela diz que, para o observador na Terra, o tempo medido para o experimento dentro da nave é menor do que o tempo próprio. Isso contraria a fórmula (a Terra mede um tempo maior). Logo a afirmação 1 é FALSA.
Também já podemos confirmar a parte de relógios da afirmação 4 (primeira metade): é verdadeira — a Terra percebe os relógios da nave passando mais devagar.
Passo 3
Contração de comprimento — conceito e fórmula (aula prática).
- Definição: o comprimento próprio
é o comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso (aqui: o astronauta mede da nave). - Um observador que vê o objeto se movendo mede um comprimento contraído
dado por
onde
é o mesmo fator da dilatação do tempo. Explicando: o comprimento na direção do movimento parece menor para quem observa o objeto em movimento.
Com
obtém-se
ou seja, a nave parece ter menos da metade do comprimento medido pelo astronauta.
Conclusão sobre a afirmação 2: ela diz que o comprimento medido por um observador na Terra parece menor que o comprimento medido pelo astronauta — isso é CORRETO. A afirmação 2 é VERDADEIRA.
Conclusão sobre a segunda metade da afirmação 4: “o comprimento da nave como contraído” também é correto. Portanto a afirmação 4 (relógios mais devagar e comprimento contraído) é VERDADEIRA como um todo.
Passo 4
Efeito Doppler relativístico (luz) — fórmula, interpretação e aplicação numérica.
- Para fontes que se movem diretamente ao longo da linha de visada, a frequência observada
em relação à frequência emitida é dada por (forma conveniente)
A escolha dos sinais: use o sinal superior
no numerador quando a fonte está se aproximando (aumenta a frequência — azul), e escolha o sinal inferior
no numerador quando a fonte está se afastando (diminui a frequência — vermelho). Outra forma equivalente é
onde
é aproximação e
é afastamento (essas formas são matematicamente equivalentes para o caso de trajetória colinear).
Aplicando
e
:
- Aproximação (esperado: aumento de frequência, azul):
Portanto a frequência observada fica cerca de
vezes maior — claro desvio para o azul.
- Afastamento (esperado: diminuição de frequência, vermelho):
A frequência cai para cerca de
vezes a original — desvio para o vermelho.
Agora avaliando as afirmações sobre cor/shift:
- Afirmação 3 dizia que se a nave estiver se afastando, a luz será observada com frequência aumentada (azul). Pelo cálculo, quando afasta a frequência diminui (vermelho). Logo a afirmação 3 é FALSA.
- Afirmação 5 dizia que se a nave estiver se aproximando, a luz será observada com desvio para o azul. Pelo cálculo, isso é correto. Portanto a afirmação 5 é VERDADEIRA.
Passo 5
Resumo e aviso sobre confusões típicas.
- Resumo rápido: quem está no mesmo referencial que o evento (a nave, para o experimento interno) mede o tempo próprio e o comprimento próprio; observadores externos veem o tempo dilatado (mais longo) e o comprimento contraído (menor).
- Sobre luz: aproximação → frequência aumenta (azul); afastamento → frequência diminui (vermelho). Cuidado: existe também o chamado deslocamento transversal e efeitos finos, mas para os casos diretos “aproxima/afasta” a regra acima vale e responde as afirmações do enunciado.
Resposta
- F
- V
- F
- V
- V