(2,5) Considere que, além das duas cargas +Q_{1} em x= \pm a e do anel de carga -2 Q_{1} e raio 2 a, existe agora um plano infinito no plano x y (coincidente com a origem) com uma densidade superficial de carga negativa -\sigma. O campo elétrico gerado por essa placa é \vec{E}=-\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} \hat{k}
(a) Determine o módulo do campo elétrico total do sistema para grandes distâncias (z \gg a) (use os resultados das questões anteriores invocando o princípio da superposição).
(b) Determine a altura z=h na qual o campo elétrico resultante é nulo, considerando o resultado obtido na letra (a).
O enunciado dá as seguintes informações (não vou resolver ainda, só listar claramente o que foi dado e o que se pede):
Existem duas cargas puntiformes +Q_{1} localizadas em x=\pm a no plano z=0 (ou seja, pontos (\pm a,0,0)).
Existe um anel de carga, no plano z=0, de raio 2a e carga total -2Q_{1}, centrado na origem.
Existe uma placa infinita no plano z=0 com densidade superficial de carga negativa -\sigma. O campo elétrico gerado por essa placa é dado (no espaço fora da placa) por \vec{E}_{\text{placa}}=-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\hat{k}. (Aqui \hat{k} é o vetor unitário na direção +z.)
Estamos interessados no campo elétrico resultante na região ao longo do eixo z (ou seja, em pontos (0,0,z)) para grandes distâncias z\gg a.
As perguntas:
(a) Determinar o módulo do campo elétrico total do sistema para grandes distâncias (z\gg a), usando superposição e resultados anteriores.
(b) Determinar a altura z=h na qual o campo elétrico resultante é nulo (usando o resultado da letra (a)).
Passo 2
Campo gerado pelas duas cargas puntiformes +Q_{1} em pontos sobre o eixo z.
Fórmula básica: o campo de uma carga puntiforme q em uma posição qualquer é
onde r é a distância da carga até o ponto de observação e \hat{r} é o vetor unitário do ponto carga até o ponto de observação.
Para calcular apenas a componente em z (no ponto (0,0,z)) é mais direto usar a expressão para a componente axial:
se a carga q está no plano z=0 em distância lateral \delta da origem (aqui \delta=a), a componente z do campo no ponto (0,0,z) é
As duas cargas iguais +Q_{1} em \pm a têm componentes horizontais que se cancelam e as componentes z se somam. Portanto o campo total das duas cargas na direção z é
Observação física importante (útil para entender a ordem dos termos): a carga total do sistema de cargas puntuais mais o anel é +Q_{1}+Q_{1}-2Q_{1}=0. Ou seja, o termo monopolar (que decairia como 1/z^{2} no campo) se cancela; como todas as cargas estão no plano z=0, o momento dipolar também é zero. O próximo termo não-nulo é do tipo quadrupolar e produz um decaimento mais rápido, tipicamente \sim 1/z^{4} no campo axial — é isso que vamos obter ao expandir para z\gg a.
Passo 5
Expansão para grandes distâncias z\gg a usando a dica e cálculo do termo dominante entre as cargas + anel.
Usar a aproximação fornecida (com \delta representando a distância lateral pequena comparada a z):
Observação física: para distâncias muito grandes o termo constante da placa domina, então o campo tende a \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} em módulo (direção para baixo), enquanto a contribuição das cargas decai rapidamente como 1/z^{4}.
Passo 7
Determinar a altura z=h em que o campo resultante é nulo (letra (b)).
Observações: esta expressão assume Q_{1}>0 e \sigma>0 (onde -\sigma foi a densidade real da placa). A unidade está consistente: \dfrac{Q_{1}}{\sigma} tem dimensão de área, multiplicada por a^{2} dá comprimento à quarta potência, cuja raiz quarta dá comprimento.