(2,5) Considere que, além das duas cargas +Q_{1} em x= \pm a e do anel de carga -2 Q_{1} e raio 2 a, existe agora um plano infinito no plano x y (coincidente com a origem) com uma densidade superficial de carga negativa -\sigma. O campo elétrico gerado por essa placa é \vec{E}=-\frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} \hat{k}
(a) Determine o módulo do campo elétrico total do sistema para grandes distâncias (z \gg a) (use os resultados das questões anteriores invocando o princípio da superposição).
(b) Determine a altura z=h na qual o campo elétrico resultante é nulo, considerando o resultado obtido na letra (a).
Dica: Para z \gg \delta, teremos que:
\frac{1}{\left(\delta^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} \approx \frac{1}{z^{3}}\left(1-\frac{3}{2} \frac{\delta^{2}}{z^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (não vou resolver ainda, só listar claramente o que foi dado e o que se pede):
  • Existem duas cargas puntiformes +Q_{1} localizadas em x=\pm a no plano z=0 (ou seja, pontos (\pm a,0,0)).
  • Existe um anel de carga, no plano z=0, de raio 2a e carga total -2Q_{1}, centrado na origem.
  • Existe uma placa infinita no plano z=0 com densidade superficial de carga negativa -\sigma. O campo elétrico gerado por essa placa é dado (no espaço fora da placa) por \vec{E}_{\text{placa}}=-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\hat{k}. (Aqui \hat{k} é o vetor unitário na direção +z.)
  • Estamos interessados no campo elétrico resultante na região ao longo do eixo z (ou seja, em pontos (0,0,z)) para grandes distâncias z\gg a.
As perguntas:
(a) Determinar o módulo do campo elétrico total do sistema para grandes distâncias (z\gg a), usando superposição e resultados anteriores.
(b) Determinar a altura z=h na qual o campo elétrico resultante é nulo (usando o resultado da letra (a)).

Passo 2

Campo gerado pelas duas cargas puntiformes +Q_{1} em pontos sobre o eixo z.
  • Fórmula básica: o campo de uma carga puntiforme q em uma posição qualquer é
\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}\hat{r},
onde r é a distância da carga até o ponto de observação e \hat{r} é o vetor unitário do ponto carga até o ponto de observação.
  • Para calcular apenas a componente em z (no ponto (0,0,z)) é mais direto usar a expressão para a componente axial:
    se a carga q está no plano z=0 em distância lateral \delta da origem (aqui \delta=a), a componente z do campo no ponto (0,0,z) é
E_{z,\text{ponto}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q\,z}{\big(z^{2}+\delta^{2}\big)^{3/2}}.
  • As duas cargas iguais +Q_{1} em \pm a têm componentes horizontais que se cancelam e as componentes z se somam. Portanto o campo total das duas cargas na direção z é
E_{z,\text{duas}}=2\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{1}\,z}{\big(z^{2}+a^{2}\big)^{3/2}} =\frac{Q_{1}\,z}{2\pi\varepsilon_{0}\big(z^{2}+a^{2}\big)^{3/2}}.
Aqui E_{z,\text{duas}} aponta no sentido +\hat{k} (para cima) porque Q_{1}>0 e o ponto de observação está em z>0.

Passo 3

Campo gerado pelo anel carregado (raio R=2a, carga total -2Q_{1}) no eixo z.
  • Fórmula básica: o campo axial de um anel de carga total Q_{\text{anel}} e raio R, no ponto (0,0,z), é
E_{z,\text{anel}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q_{\text{anel}}\,z}{\big(z^{2}+R^{2}\big)^{3/2}}.
  • Substituindo Q_{\text{anel}}=-2Q_{1} e R=2a:
E_{z,\text{anel}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{-2Q_{1}\,z}{\big(z^{2}+4a^{2}\big)^{3/2}} =-\frac{Q_{1}\,z}{2\pi\varepsilon_{0}\big(z^{2}+4a^{2}\big)^{3/2}}.
Este campo aponta no sentido -\hat{k} (para baixo) porque a carga do anel é negativa.

Passo 4

Superposição: campo total (somando as contribuições das duas cargas, do anel e da placa).
  • Somando as contribuições em z (componentes escalares), o campo axial total é
E_{z,\text{total}}(z) =E_{z,\text{duas}}(z)+E_{z,\text{anel}}(z)+E_{z,\text{placa}}.
Substituindo as expressões obtidas:
E_{z,\text{total}}(z) =\frac{Q_{1}\,z}{2\pi\varepsilon_{0}}\left[\frac{1}{\big(z^{2}+a^{2}\big)^{3/2}}-\frac{1}{\big(z^{2}+4a^{2}\big)^{3/2}}\right] -\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
  • Observação física importante (útil para entender a ordem dos termos): a carga total do sistema de cargas puntuais mais o anel é +Q_{1}+Q_{1}-2Q_{1}=0. Ou seja, o termo monopolar (que decairia como 1/z^{2} no campo) se cancela; como todas as cargas estão no plano z=0, o momento dipolar também é zero. O próximo termo não-nulo é do tipo quadrupolar e produz um decaimento mais rápido, tipicamente \sim 1/z^{4} no campo axial — é isso que vamos obter ao expandir para z\gg a.

Passo 5

Expansão para grandes distâncias z\gg a usando a dica e cálculo do termo dominante entre as cargas + anel.
  • Usar a aproximação fornecida (com \delta representando a distância lateral pequena comparada a z):
\frac{1}{\big(\delta^{2}+z^{2}\big)^{3/2}}\approx\frac{1}{z^{3}}\left(1-\frac{3}{2}\frac{\delta^{2}}{z^{2}}\right).
  • Aplique essa expansão para os dois termos com \delta=a e \delta=2a:
\frac{1}{\big(z^{2}+a^{2}\big)^{3/2}}\approx\frac{1}{z^{3}}\left(1-\frac{3}{2}\frac{a^{2}}{z^{2}}\right),
\frac{1}{\big(z^{2}+4a^{2}\big)^{3/2}}\approx\frac{1}{z^{3}}\left(1-\frac{3}{2}\frac{4a^{2}}{z^{2}}\right) =\frac{1}{z^{3}}\left(1-6\frac{a^{2}}{z^{2}}\right).
  • Subtrair as duas aproximações:
\frac{1}{\big(z^{2}+a^{2}\big)^{3/2}}-\frac{1}{\big(z^{2}+4a^{2}\big)^{3/2}} \approx\frac{1}{z^{3}}\left[\left(1-\tfrac{3}{2}\frac{a^{2}}{z^{2}}\right)-\left(1-6\frac{a^{2}}{z^{2}}\right)\right] =\frac{1}{z^{3}}\left(\frac{9}{2}\frac{a^{2}}{z^{2}}\right).
  • Portanto a contribuição das cargas (duas cargas + anel) para z\gg a é
E_{z,\text{duas+anel}}(z) \approx\frac{Q_{1}\,z}{2\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{z^{3}}\cdot\frac{9}{2}\frac{a^{2}}{z^{2}} =\frac{9\,Q_{1}\,a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{z^{4}}.
  • Sinal: este termo é positivo (aponta para +\hat{k}), conforme a expressão acima.

Passo 6

Campo total aproximado para z\gg a e módulo pedido na letra (a).
  • Somando com o campo da placa (que é constante e aponta para -\hat{k}):
E_{z,\text{total}}(z)\approx\frac{9\,Q_{1}\,a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{z^{4}}-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
  • Como a pergunta (a) pede o módulo do campo elétrico total para z\gg a, o módulo é
\boxed{\,E_{\text{total}}(z)\approx\left|\;\frac{9\,Q_{1}\,a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{1}{z^{4}}-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\;\right|.}
  • Observação física: para distâncias muito grandes o termo constante da placa domina, então o campo tende a \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} em módulo (direção para baixo), enquanto a contribuição das cargas decai rapidamente como 1/z^{4}.

Passo 7

Determinar a altura z=h em que o campo resultante é nulo (letra (b)).
  • Para anular o campo axial aproximado, impõe-se
\frac{9\,Q_{1}\,a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{h^{4}}-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=0.
  • Resolver para h. Multiplicando por 4\pi\varepsilon_{0}h^{4}:
9\,Q_{1}\,a^{2}-\big(4\pi\varepsilon_{0}h^{4}\big)\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=0 \quad\Rightarrow\quad 9\,Q_{1}\,a^{2}-2\pi\sigma\,h^{4}=0.
  • Daí
h^{4}=\frac{9\,Q_{1}\,a^{2}}{2\pi\sigma}.
  • Tomando a raiz quarta (e escolhendo a solução positiva h>0 física):
\boxed{\,h=\left(\frac{9\,Q_{1}\,a^{2}}{2\pi\sigma}\right)^{1/4}.}
  • Observações: esta expressão assume Q_{1}>0 e \sigma>0 (onde -\sigma foi a densidade real da placa). A unidade está consistente: \dfrac{Q_{1}}{\sigma} tem dimensão de área, multiplicada por a^{2} dá comprimento à quarta potência, cuja raiz quarta dá comprimento.

Resposta

(a) E_{\text{total}}(z)\approx\left|\dfrac{9\,Q_{1}\,a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\dfrac{1}{z^{4}}-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\right|
(b) h=\left(\dfrac{9\,Q_{1}\,a^{2}}{2\pi\sigma}\right)^{1/4}

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