Questão 1. Dêfne-se o polinômio P(x) da seguinte maneira:
P(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d
em que P(x)=P(1-x), P(0)=0 e P(-1)=6. Dessa maneira, o valor de a+b+c+d é:
A() -1
B ( ) 0
C () I
D() _{2}
E ( ) 4

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d
e as condições:
  • \,P(x)=P(1-x) para todo x (igualdade de polinômios),
  • \,P(0)=0,
  • \,P(-1)=6.
O que se pede: calcular o valor de \,a+b+c+d.

Passo 2

Entender a condição \,P(x)=P(1-x). Isso é uma identidade polinomial: a diferença
P(x)-P(1-x)
é o polinômio zero, então todos os coeficientes de potências de x nessa diferença devem ser zero. Vou expandir \,P(1-x) termo a termo para comparar coeficientes.

Passo 3

Expandindo termo a termo:
(1-x)^{4}=1-4x+6x^{2}-4x^{3}+x^{4},
a(1-x)^{3}=a\bigl(1-3x+3x^{2}-x^{3}\bigr)=a-3a x+3a x^{2}-a x^{3},
b(1-x)^{2}=b\bigl(1-2x+x^{2}\bigr)=b-2b x+b x^{2},
c(1-x)=c-cx,
e o termo d permanece d. Somando,
P(1-x)=x^{4}+(-4-a)x^{3}+(6+3a+b)x^{2}+(-4-3a-2b-c)x+(1+a+b+c+d).

Passo 4

Agora faço a diferença \,P(x)-P(1-x) e igualo coeficientes a zero. Como
P(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d,
a diferença tem coeficientes (coeficientes do polinômio identicamente zero):
  • coeficiente de x^{3}:
a-(-4-a)=2a+4=0,
  • coeficiente de x^{2}:
b-(6+3a+b)=-6-3a=0,
  • coeficiente de x:
c-(-4-3a-2b-c)=4+3a+2b+2c=0,
  • termo constante:
d-(1+a+b+c+d)=-1-a-b-c=0.

Passo 5

Resolver as equações obtidas. Da primeira \,2a+4=0 obtemos
a=-2.
Substituindo em -6-3a=0 confirma-se a=-2. Usando a=-2 na equação do coeficiente de x:
4+3(-2)+2b+2c=0 \quad\Rightarrow\quad -2+2b+2c=0 \quad\Rightarrow\quad b+c=1.
E da constante:
-1-a-b-c=0 \quad\Rightarrow\quad -1-(-2)-(b+c)=0 \quad\Rightarrow\quad 1-(b+c)=0,
o que também dá b+c=1 (consistente).

Passo 6

Usar agora as condições P(0)=0 e P(-1)=6.
Da definição, P(0)=d, logo
d=0.
Calcule P(-1):
P(-1)=(-1)^{4}+a(-1)^{3}+b(-1)^{2}+c(-1)+d = 1 - a + b - c + d.
Como P(-1)=6 e d=0,
1 - a + b - c = 6 \quad\Rightarrow\quad -a + b - c =5.
Substituindo a=-2:
2 + b - c =5 \quad\Rightarrow\quad b - c =3.

Passo 7

Resolver o sistema para b\) e \(c\): \[\begin{cases} b+c=1,\\[4pt] b-c=3. \end{cases}
Somando as duas equações: 2b=4\Rightarrow b=2\]. Então \(c=1-b= -1.
Temos, portanto,
a=-2,\qquad b=2,\qquad c=-1,\qquad d=0.]

Passo 8

Calcular a soma pedida:
a+b+c+d = -2 + 2 + (-1) + 0 = -1.

Resposta

-1

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