Um anel fino de raio
está localizado no plano
, com centro na origem. O anel possui carga total uniforme
.
(a) Determine o vetor campo elétrico do anel resultante no ponto
, considerando
.
(b) Determine o campo elétrico total no ponto
gerado pelas cargas puntiformes da questão 2 e pelo anel de carga (use o resultado da questão anterior invocando o princípio da superposição).
(c) Qual é o sentido do vetor campo elétrico total ao longo do eixo z para
?
(a) Determine o vetor campo elétrico do anel resultante no ponto
(b) Determine o campo elétrico total no ponto
(c) Qual é o sentido do vetor campo elétrico total ao longo do eixo z para
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Um anel fino, centro na origem, contido no plano
, de raio . - Carga total do anel:
, distribuída uniformemente sobre o anel. - Ponto onde se quer o campo:
com .
Perguntas:
(a) Determinar o vetor campo elétrico do anel no ponto (com
).
(b) Determinar o campo elétrico total no ponto gerado pelas cargas puntiformes da questão 2 e pelo anel, usando superposição.
(c) Qual é o sentido do vetor campo elétrico total ao longo do eixo para
?
(a) Determinar o vetor campo elétrico do anel no ponto
(b) Determinar o campo elétrico total no ponto
(c) Qual é o sentido do vetor campo elétrico total ao longo do eixo
Passo 2
Relembrando a lei de Coulomb (a ferramenta que vamos usar): o campo elétrico gerado por uma carga pontual
em um ponto
é
onde
é a posição da carga e
é a permissividade do vácuo.
Para distribuições contínuas de carga usamos um elemento de carga e integramos a contribuição de
sobre toda a distribuição.
Para distribuições contínuas de carga usamos um elemento de carga
Explicando as variáveis:
-
é o vetor posição do ponto onde queremos o campo (aqui ). -
é a posição do elemento . -
é a distância entre o ponto e .
Passo 3
Geometria e simetria do problema (passo-chave para simplificar):
- Cada elemento de carga
no anel está a uma distância igual de : . - Pelo anel ser simétrico em torno do eixo
, as componentes do campo no plano (horizontais) de elementos opostos se cancelam — sobra apenas a componente ao longo de . - Portanto basta calcular a componente
do campo produzida por um elemento e integrar ao longo do anel (a integração é trivial por causa da uniformidade).
Passo 4
Cálculo do campo devido a um elemento
.
Posição de um elemento do anel:
. Ponto
:
. Distância entre eles:
Módulo do campo produzido por
(pela lei de Coulomb):
A componente ao longo de
é
, onde
. Assim
Passo 5
Integração sobre o anel (uso da uniformidade).
Como a expressão não depende de
salvo por
, ao integrar sobre o anel soma-se simplesmente
:
Como a expressão
Vetor campo elétrico (apenas componente
):
Passo 6
Substituindo os dados numéricos do enunciado (
e
):
Observação física curta: como
, o sinal negativo indica que a contribuição do anel aponta no sentido negativo de
(ou seja, para
) quando
.
Passo 7
Parte (b) — princípio da superposição e expressão geral do campo total.
O princípio da superposição diz que o campo total é a soma vetorial do campo do anel com os campos gerados por cada carga pontual da questão 2. Escrevendo de forma geral, para :
O princípio da superposição diz que o campo total é a soma vetorial do campo do anel com os campos gerados por cada carga pontual da questão 2. Escrevendo de forma geral, para
onde, para uma carga pontual
localizada em
,
Sem os valores das cargas
e das posições
fornecidos na questão 2, não é possível avaliar numericamente a soma e obter um valor explícito final — só se pode escrever a expressão geral acima. Se a questão 2 trouxer posições/valores específicos, basta substituir nessa fórmula e somar vetorialmente.
Passo 8
Parte (c) — sentido do vetor campo total ao longo do eixo
para
.
- A contribuição do anel, dada em
Passo 9
- O sentido do campo elétrico total ao longo do eixo
(para ) depende da soma das componentes de todas as contribuições: - Se
, o campo total aponta para . - Se
, o campo total aponta para .
Sem os dados da questão 2 não é possível afirmar qual dos dois casos ocorre; entretanto, isoladamente, o anel empurra (atrai para o anel) um teste positivo em, isto é, o anel contribui para o sentido .
- Se
Resposta
(a)
\n
(b) \quad (não é possível avaliar numericamente sem os
e
da questão 2)\n
(c) A contribuição do anel aponta para para
. O sentido do campo elétrico total será
se a componente
total for negativa (caso contrário será
); não dá para decidir sem os dados das cargas puntiformes.
(b)
(c) A contribuição do anel aponta para