(2,5) Um anel fino de raio R=2 a está localizado no plano x y, com centro na origem. O anel possui carga total uniforme Q=-2 Q_{1}.
(a) Determine o vetor campo elétrico do anel resultante no ponto P=(0,0, z), considerando z>0.
(b) Determine o campo elétrico total no ponto P gerado pelas cargas puntiformes da questão 2 e pelo anel de carga (use o resultado da questão anterior invocando o princípio da superposição).
(c) Qual é o sentido do vetor campo elétrico total ao longo do eixo z para z>0 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Um anel fino, centro na origem, contido no plano xy, de raio R=2a.
  • Carga total do anel: Q=-2Q_{1}, distribuída uniformemente sobre o anel.
  • Ponto onde se quer o campo: P=(0,0,z) com z>0.
Perguntas:
(a) Determinar o vetor campo elétrico do anel no ponto P=(0,0,z) (com z>0).
(b) Determinar o campo elétrico total no ponto P gerado pelas cargas puntiformes da questão 2 e pelo anel, usando superposição.
(c) Qual é o sentido do vetor campo elétrico total ao longo do eixo z para z>0 ?

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb (a ferramenta que vamos usar): o campo elétrico gerado por uma carga pontual q em um ponto \mathbf{r} é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,q\,\dfrac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_q}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_q\rvert^{3}},
onde \mathbf{r}_q é a posição da carga e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
Para distribuições contínuas de carga usamos um elemento de carga dq e integramos a contribuição de dq sobre toda a distribuição.
Explicando as variáveis:
  • \mathbf{r} é o vetor posição do ponto onde queremos o campo (aqui \mathbf{r}=(0,0,z)).
  • \mathbf{r}_q é a posição do elemento dq.
  • \lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_q\rvert é a distância entre o ponto e dq.

Passo 3

Geometria e simetria do problema (passo-chave para simplificar):
  • Cada elemento de carga dq no anel está a uma distância igual de P: r'=\sqrt{R^{2}+z^{2}}.
  • Pelo anel ser simétrico em torno do eixo z, as componentes do campo no plano xy (horizontais) de elementos opostos se cancelam — sobra apenas a componente ao longo de z.
  • Portanto basta calcular a componente z do campo produzida por um elemento dq e integrar ao longo do anel (a integração é trivial por causa da uniformidade).

Passo 4

Cálculo do campo devido a um elemento dq.
Posição de um elemento do anel: \mathbf{r}'=(R\cos\varphi,\,R\sin\varphi,\,0). Ponto P: \mathbf{r}=(0,0,z). Distância entre eles:
\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert = \sqrt{R^{2}+z^{2}}.
Módulo do campo produzido por dq (pela lei de Coulomb):
dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dq}{R^{2}+z^{2}}.
A componente ao longo de z é dE_{z}=dE\cos\theta, onde \cos\theta=\dfrac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}. Assim
dE_{z}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dq}{R^{2}+z^{2}}\cdot\dfrac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}} =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z\,dq}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.

Passo 5

Integração sobre o anel (uso da uniformidade).
Como a expressão dE_{z} não depende de \varphi salvo por dq, ao integrar sobre o anel soma-se simplesmente dq\to Q:
E_{z}=\int dE_{z}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\int dq =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q\,z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
Vetor campo elétrico (apenas componente z):
\mathbf{E}_{\text{anel}}(0,0,z) =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q\,z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\;\hat{\mathbf{z}}.

Passo 6

Substituindo os dados numéricos do enunciado ( Q=-2Q_{1} e R=2a):
\boxed{\displaystyle \mathbf{E}_{\text{anel}}(0,0,z) =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{(-2Q_{1})\,z}{\left(z^{2}+(2a)^{2}\right)^{3/2}}\;\hat{\mathbf{z}}.}
Observação física curta: como Q<0, o sinal negativo indica que a contribuição do anel aponta no sentido negativo de z (ou seja, para -\hat{\mathbf{z}}) quando z>0.

Passo 7

Parte (b) — princípio da superposição e expressão geral do campo total.
O princípio da superposição diz que o campo total é a soma vetorial do campo do anel com os campos gerados por cada carga pontual da questão 2. Escrevendo de forma geral, para P=(0,0,z):
\mathbf{E}_{\text{total}}(0,0,z) =\mathbf{E}_{\text{anel}}(0,0,z) +\sum_{j}\mathbf{E}_{j}(0,0,z),
onde, para uma carga pontual q_{j} localizada em \mathbf{r}_{j}=(x_{j},y_{j},z_{j}),
\mathbf{E}_{j}(0,0,z) =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,q_{j}\, \dfrac{(0,0,z)-\mathbf{r}_{j}}{\bigl[(x_{j})^{2}+(y_{j})^{2}+(z-z_{j})^{2}\bigr]^{3/2}}.
Sem os valores das cargas q_{j} e das posições \mathbf{r}_{j} fornecidos na questão 2, não é possível avaliar numericamente a soma e obter um valor explícito final — só se pode escrever a expressão geral acima. Se a questão 2 trouxer posições/valores específicos, basta substituir nessa fórmula e somar vetorialmente.

Passo 8

Parte (c) — sentido do vetor campo total ao longo do eixo z para z>0.
  • A contribuição do anel, dada em

Passo 9

  • O sentido do campo elétrico total ao longo do eixo z (para z>0) depende da soma das componentes z de todas as contribuições:
    • Se \displaystyle E_{\text{total},z}=\bigl[\mathbf{E}_{\text{anel}}+\sum_{j}\mathbf{E}_{j}\bigr]\cdot\hat{\mathbf{z}}<0, o campo total aponta para -\hat{\mathbf{z}}.
    • Se \displaystyle E_{\text{total},z}>0, o campo total aponta para +\hat{\mathbf{z}}.
      Sem os dados da questão 2 não é possível afirmar qual dos dois casos ocorre; entretanto, isoladamente, o anel empurra (atrai para o anel) um teste positivo em z>0, isto é, o anel contribui para o sentido -\hat{\mathbf{z}}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}_{\text{anel}}(0,0,z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{(-2Q_{1})\,z}{\left(z^{2}+(2a)^{2}\right)^{3/2}}\;\hat{\mathbf{z}}\n
(b) \displaystyle \mathbf{E}_{\text{total}}(0,0,z)=\mathbf{E}_{\text{anel}}(0,0,z)+\sum_{j}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,q_{j}\,\dfrac{(0,0,z)-\mathbf{r}_{j}}{\bigl[(x_{j})^{2}+(y_{j})^{2}+(z-z_{j})^{2}\bigr]^{3/2}} \quad (não é possível avaliar numericamente sem os q_{j} e \mathbf{r}_{j} da questão 2)\n
(c) A contribuição do anel aponta para -\hat{\mathbf{z}} para z>0. O sentido do campo elétrico total será -\hat{\mathbf{z}} se a componente z total for negativa (caso contrário será +\hat{\mathbf{z}}); não dá para decidir sem os dados das cargas puntiformes.

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