(1,0 ponto) Questão 5 - Um astronauta envia sinais luminosos de frequência
a partir de sua nave espacial. Um observador na Terra detecta essa luz com frequência reduzida,
.
(a) A nave está se aproximando ou se afastando da Terra? Justifique com base na relação entre as frequências.
(b) Calcule a velocidade da nave em termos da fração da velocidade da luz (
).
(a) A nave está se aproximando ou se afastando da Terra? Justifique com base na relação entre as frequências.
(b) Calcule a velocidade da nave em termos da fração da velocidade da luz (
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
- Frequência emitida pela nave:
. - Frequência observada na Terra:
.
Perguntas:
(a) A nave está se aproximando ou se afastando da Terra? Justificar com base nas frequências.
(b) Calcular a velocidade da nave em termos da fração da velocidade da luz, isto é .
(a) A nave está se aproximando ou se afastando da Terra? Justificar com base nas frequências.
(b) Calcular a velocidade da nave em termos da fração da velocidade da luz, isto é
Passo 2
Princípio físico necessário (explicação didática e curta, sem pressupor que já saiba): para luz devemos usar o efeito Doppler relativístico. Para movimento ao longo da linha de visão existem duas fórmulas simples dependendo do sentido do movimento:
- Se a fonte e o observador se aproximam, a frequência observada aumenta (blue shift) e vale
onde
e
é a velocidade relativa (em módulo).
- Se a fonte e o observador se afastam, a frequência observada diminui (red shift) e vale
Por que usar essa fórmula? Breve intuição: a relatividade modifica tanto o espaçamento temporal das oscilações emitidas (time dilation) quanto a razão com que as cristas da onda alcançam o observador; a combinação resulta na raiz quadrada acima. Para velocidades não desprezíveis em relação à velocidade da luz, a fórmula clássica não é correta, então usamos a relativística.
Passo 3
Resposta da parte (a) — interpretação das frequências:
- Observou-se que
( ). Isso significa que a luz chegou com frequência reduzida (redshift). - Pelo enunciado da física acima, redshift ocorre quando a fonte está se afastando do observador.
Logo, a nave está se afastando da Terra.
Passo 4
Agora calcular
usando a fórmula para afastamento:
Isolamos
passo a passo. Divida os dois lados por
e eleve ao quadrado:
Defina
. Então
Desenvolvendo:
Juntando os termos com
:
Finalmente:
Passo 5
Substituir os valores numéricos com contas que dê para fazer sem calculadora:
Logo
Aplicando na fórmula de
:
Assim
, ou seja
. (Se quiser em unidades de velocidade:
.)
Resposta
(a) A nave está se afastando da Terra.
(b) (portanto
).
(b)