(1,0 ponto) Questão 5 - Um astronauta envia sinais luminosos de frequência f_{0}=6,0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} a partir de sua nave espacial. Um observador na Terra detecta essa luz com frequência reduzida, \mathbf{f = 4 , 5} \mathbf{~ x 1 0} \mathbf{1 0}^{\mathbf{1 4}} \mathbf{~ H z}.
(a) A nave está se aproximando ou se afastando da Terra? Justifique com base na relação entre as frequências.
(b) Calcule a velocidade da nave em termos da fração da velocidade da luz ( \beta=v / c ).

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
  • Frequência emitida pela nave: f_{0}=6,0\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Frequência observada na Terra: f=4,5\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Perguntas:
(a) A nave está se aproximando ou se afastando da Terra? Justificar com base nas frequências.
(b) Calcular a velocidade da nave em termos da fração da velocidade da luz, isto é \beta = v/c.

Passo 2

Princípio físico necessário (explicação didática e curta, sem pressupor que já saiba): para luz devemos usar o efeito Doppler relativístico. Para movimento ao longo da linha de visão existem duas fórmulas simples dependendo do sentido do movimento:
  • Se a fonte e o observador se aproximam, a frequência observada aumenta (blue shift) e vale
f = f_{0}\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}},
onde \beta = v/c e v é a velocidade relativa (em módulo).
  • Se a fonte e o observador se afastam, a frequência observada diminui (red shift) e vale
f = f_{0}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.
Por que usar essa fórmula? Breve intuição: a relatividade modifica tanto o espaçamento temporal das oscilações emitidas (time dilation) quanto a razão com que as cristas da onda alcançam o observador; a combinação resulta na raiz quadrada acima. Para velocidades não desprezíveis em relação à velocidade da luz, a fórmula clássica não é correta, então usamos a relativística.

Passo 3

Resposta da parte (a) — interpretação das frequências:
  • Observou-se que f < f_{0} ( 4,5\times10^{14} < 6,0\times10^{14}). Isso significa que a luz chegou com frequência reduzida (redshift).
  • Pelo enunciado da física acima, redshift ocorre quando a fonte está se afastando do observador.
    Logo, a nave está se afastando da Terra.

Passo 4

Agora calcular \beta usando a fórmula para afastamento:
f = f_{0}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.
Isolamos \beta passo a passo. Divida os dois lados por f_{0} e eleve ao quadrado:
\left(\frac{f}{f_{0}}\right)^{2}=\frac{1-\beta}{1+\beta}.
Defina r=\left(\dfrac{f}{f_{0}}\right)^{2}. Então
r(1+\beta)=1-\beta.
Desenvolvendo:
r + r\beta = 1 - \beta.
Juntando os termos com \beta:
r\beta + \beta = 1 - r \quad\Rightarrow\quad \beta(r+1)=1-r.
Finalmente:
\beta=\frac{1-r}{1+r}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos com contas que dê para fazer sem calculadora:
\frac{f}{f_{0}}=\frac{4,5\times10^{14}}{6,0\times10^{14}}=\frac{4,5}{6,0}=0,75=\frac{3}{4}.
Logo
r=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}=0,5625.
Aplicando na fórmula de \beta:
\beta=\frac{1-\tfrac{9}{16}}{1+\tfrac{9}{16}}=\frac{\tfrac{7}{16}}{\tfrac{25}{16}}=\frac{7}{25}=0,28.
Assim \beta=0,28, ou seja v=0,28\,c. (Se quiser em unidades de velocidade: v\approx0,28\times3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\approx8,4\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.)

Resposta

(a) A nave está se afastando da Terra.
(b) \beta = 0,28 (portanto v=0,28\,c).

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