1 ( 3,0 ponto) A reação gasosa de
é uma reação de primeira ordem que apresenta meia-vida de
quando a
. Escreva a lei de velocidade para a reaçāo e as leis de velocidade para cada um dos componentes da reaçâo (produtos e reagentes), incluindo o valor da constante de equilibrio.
Passo 1
Dados do enunciado (o que o problema dá e o que pede):
- Reação:
. - Informação experimental: é uma reação de primeira ordem e apresenta meia-vida
quando . - O enunciado pede:
- a lei de velocidade da reação (forma geral, com a constante de velocidade
); - as leis de velocidade para cada componente (para
e para ), i.e., as equações que relacionam e com as concentrações; - o valor (ou a expressão) da constante de equilíbrio.
Observação: aqui “meia-vida” refere-se ao tempo para a concentração deficar pela metade.
- a lei de velocidade da reação (forma geral, com a constante de velocidade
Passo 2
Entendendo a definição de velocidade de reação e a ligação com estequiometria (conceito-chave que precisamos para montar as equações).
- Definimos a velocidade da reação (vamos chamar de
) como a velocidade de avanço por unidade de volume, com unidades . A informação “reação de primeira ordem” significa que a velocidade do avanço depende linearmente de , isto é:
onde
é a constante de velocidade (unidade:
).
- A relação entre
e as variações temporais das concentrações, usando a estequiometria , é:
Isto significa que o consumo de
e a formação de
estão ligados pelo fator estequiométrico.
Passo 3
Obter as equações diferenciais para
e
a partir de
.
- Usando
e , temos:
- Usando
e , temos:
Explicação rápida: como cada evento de reação consome 3 mol de A, a taxa de queda de
tem um fator 3; por outro lado, cada evento produz 2 mol de B, daí o fator 2.
Passo 4
Resolver a equação para
(integração simples de 1ª ordem) e relacioná-la com a meia-vida.
- A equação diferencial
é de primeira ordem e separável. Integramos:
logo
- Meia-vida: definir
por . Substituindo na expressão acima:
Tomando logaritmo:
Observe o ponto importante: por causa do coeficiente estequiométrico 3, a meia-vida de
relaciona-se com
por
, e não por
.
Passo 5
Calcular o valor numérico de
usando
.
- Isolando
:
Substituindo numericamente (
):
Arredondando a três algarismos significativos temos
.
Passo 6
Determinar
integrando a equação de
e interpretar o comportamento em longo prazo.
- Partimos de
. Integrando de 0 a :
Cancelando
:
- Se
, então . No limite , , que é o valor estequiométrico máximo (cada 3 mol de A dá 2 mol de B).
Passo 7
Escrever a expressão da constante de equilíbrio e comentar sobre seu valor numérico.
- Para a reação (reversível)
a constante de equilíbrio (em termos de concentrações molares) é:
- Relação com constantes de velocidade diretas e inversas: se
é a constante da reação direta e a da reação inversa, então
No entanto, com os dados fornecidos (somente a meia-vida da diminuição de
, que nos permite achar a constante cinética da reação direta
), não há informação sobre a constante da reação inversa
nem sobre concentrações de equilíbrio; portanto não é possível determinar numericamente
a partir dos dados dados.
Resposta
Lei de velocidade da reação:
com
.
Lei de velocidade para o reagente
:
e integrada
.
Lei de velocidade para o produto
:
e integrada
.
Constante de equilíbrio:
(não é possível calcular numericamente
com os dados fornecidos).