(0,8 ponto) Resolva as equações:
1+\operatorname{sen} \mathrm{x}-\cos ^{2} \mathrm{x}=0, \operatorname{com} \pi \leq x \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver
1 + \sin x - \cos^2 x = 0
no intervalo \pi \le x \le 2\pi.
Vamos usar a identidade fundamental da trigonometria
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x
para transformar a equação em um polinômio em \sin x.

Passo 2

Substituindo \cos^2 x = 1 - \sin^2 x na equação, temos
1 + \sin x - \bigl(1 - \sin^2 x\bigr) = 0
que simplifica para
1 + \sin x - 1 + \sin^2 x = 0
ou seja
\sin^2 x + \sin x = 0.

Passo 3

Fatorando \sin^2 x + \sin x = \sin x\,(\sin x + 1)=0, obtemos as duas possibilidades:
\sin x = 0 \quad\text{ou}\quad \sin x = -1.

Passo 4

Agora restrigimos ao intervalo \pi \le x \le 2\pi:
  • \sin x = 0 ocorre em x = \pi e x = 2\pi.
  • \sin x = -1 ocorre em x = \tfrac{3\pi}{2}.
Todos esses pontos estão no intervalo dado.

Resposta

\pi,\;\tfrac{3\pi}{2},\;2\pi

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