5- Sejam A=\{1,2,3,4\} e B=\{5,6,7\}. Seja f a relação:
f=\{(1,5) ;(2,5) ;(3,6) ;(\square, \square)\}
em que os símbolos \square e \square devem ser determinadas por você. Você deve determinar três substitutos para ( D, D ) de modo que as proposições seguintes sejam verdadeiras:
a) A relação f não é uma função. Justifique
b) A relação f é uma função de A para B mas não é sobrejetora. Justifique
c) A relação f é uma função de A para B e é sobrejetora. Justifique
d) Após escolher \square e \square de tal forma que f seja uma função, explique por que a função f não pode ser uma bijeção. Justifique
e) Crie uma função g \subset A \times B de tal forma que g admita a função inversa g^{-1}.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Conjuntos fornecidos:
    • A=\{1,2,3,4\}
    • B=\{5,6,7\}
  • A relação f é
    f=\{(1,5),(2,5),(3,6),(\square,\square)\},
    onde os símbolos \square devem ser substituídos por um par ordenado da forma (x,y) com x\in A e y\in B.
  • O enunciado pede que eu determine três escolhas distintas para (\square,\square) de modo que as proposições (a), (b) e (c) sejam verdadeiras, e depois responda (d) e (e):
    (a) escolher (\square,\square) de modo que f NÃO seja uma função;
    (b) escolher (\square,\square) de modo que f seja uma função de A para B mas NÃO seja sobrejetora;
    (c) escolher (\square,\square) de modo que f seja uma função de A para B e seja sobrejetora;
    (d) depois, explicitar por que, depois de escolher (\square,\square) de modo que f seja função, f não pode ser bijeção;
    (e) criar uma função g\subset A\times B tal que g admita inversa g^{-1}.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar com calma (e sem pressa) as definições que precisamos — isso é essencial para justificar cada escolha.
  • Relação: uma relação R de A em B é qualquer subconjunto de A\times B. No nosso caso f\subset A\times B.
  • Função (do tipo "de A para B"): uma relação f é uma função de A em B se e somente se para todo a\in A existe exatamente um b\in B tal que (a,b)\in f. Em palavras: cada elemento do domínio A deve ter imagem única em B.
    • “Exatamente um” implica duas condições:
      1. Existe pelo menos uma imagem (nenhum elemento de A fica sem imagem).
      2. A imagem é única (um mesmo a não pode mapear para dois valores distintos).
  • Injetora (injectiva): uma função f:A\to B é injetora se elementos diferentes de A têm imagens diferentes em B. Formalmente: \forall x_1,x_2\in A,\; f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.
  • Sobrejetora (sobrecetora / onto): f é sobrejetora se toda b\in B é imagem de algum a\in A. Em símbolos: \forall b\in B\\ \exists a\in A tal que f(a)=b.
  • Bijeção: função que é simultaneamente injetora e sobrejetora. Só funções bijetoras têm inversa que é também função.
  • Observação prática útil (princípio da casa dos pombos): se |A|>|B| então nenhuma função de A para B pode ser injetora (pois haveria mais “domínios” que “caixas” para colocar imagens distintas).
Agora que as definições estão frescas, vamos aplicar ao caso concreto.

Passo 3

Queremos escolher (\square,\square) tal que f NÃO seja função.
  • Lembrete do que já temos: (1,5),(2,5),(3,6). Note que o elemento 2 já aparece como primeiro componente em (2,5).
  • Uma maneira simples de destruir a propriedade de ser função é fazer com que um mesmo elemento do domínio apareça em dois pares com imagens diferentes (violando a unicidade da imagem). Por isso escolho
    (\square,\square)=(2,6).
  • Então a relação fica
    f=\{(1,5),(2,5),(2,6),(3,6)\}.
  • Justificativa didática: agora o elemento 2\in A aparece em dois pares (2,5) e (2,6). Isso contradiz a exigência “exatamente uma imagem” para cada a\in A. Logo f NÃO é função, porque o mesmo a=2 possui duas imagens distintas.

Passo 4

Queremos escolher (\square,\square) tal que f seja função de A para B mas NÃO sobrejetora.
  • Para que f seja função de A para B precisamos que cada elemento de A apareça exatamente uma vez como primeiro componente. Já temos 1,2,3 mapeados; falta mapear o 4. Logo o par extra deve ter primeiro componente 4.
  • Para que NÃO seja sobrejetora, a imagem de f deve deixar pelo menos um elemento de B sem pré-imagem. Atualmente as imagens presentes são \{5,6\} (já aparecem 5 e 6). Se eu fizer 4 mapear para 5 (ou para 6), então 7 não será imagem de ninguém, e assim f não será sobrejetora.
  • Escolha concreta:
    (\square,\square)=(4,5).
  • Então
    f=\{(1,5),(2,5),(3,6),(4,5)\}.
  • Justificativa didática: cada elemento de A (1,2,3,4) aparece exatamente uma vez como primeiro componente, logo é função de A para B. Contudo o elemento 7\in B não pertence à imagem f(A)=\{5,6\}, então f NÃO é sobrejetora.

Passo 5

Queremos escolher (\square,\square) tal que f seja função de A para B e seja sobrejetora.
  • Novamente, para ser função precisamos mapear o 4. Para ser sobrejetora precisamos que todos os elementos de B=\{5,6,7\} apareçam como imagens. No conjunto atual já aparecem 5 e 6, falta 7.
  • Escolha óbvia e natural:
    (\square,\square)=(4,7).
  • Assim
    f=\{(1,5),(2,5),(3,6),(4,7)\}.
  • Justificativa didática: cada a\in A tem exatamente uma imagem (função), e a imagem f(A)=\{5,6,7\}=B, logo f é sobrejetora. Portanto f é uma função A\to B e é sobrejetora.

Passo 6

Explicar por que, após escolher (\square,\square) de modo que f seja função, f não pode ser bijeção.
  • Vamos usar argumentos simples e contábeis:
    • Temos |A|=4 elementos e |B|=3 elementos.
    • Se f:A\to B fosse injetora, então todos os 4 elementos de A teriam imagens distintas em B. Isso exigiria pelo menos 4 elementos distintos em B. Mas B tem apenas 3 elementos. Contradição.
    • Portanto nenhuma função f:A\to B pode ser injetora. Como bijeção exige injetividade, nenhuma função f:A\to B pode ser bijeção.
  • Outra forma (intuitiva/pombos): colocando 4 pombos (elementos de A) em 3 caixas (elementos de B), por força, duas pombos devem ficar na mesma caixa — isto é, duas entradas de A têm a mesma imagem, o que impede injetividade.
  • Conclusão: quaisquer escolhas de (\square,\square) que tornem f função (como em (b) ou (c)) impedem f de ser bijeção, porque |A|>|B|.

Passo 7

Criar uma função g\subset A\times B tal que g admita inversa g^{-1}.
  • Observação importante: para que uma função tenha inversa que é também função, ela precisa ser bijetora entre seu domínio e sua imagem. Como é impossível ter bijeção entre todo A e B (já vimos |A|=4>|B|=3), a solução é considerar uma função g cujo domínio seja um subconjunto de A com exatamente 3 elementos, e tal que g seja uma bijeção entre esse subconjunto e B. O enunciado pede apenas g\subset A\times B, não exige que o domínio seja todo A.
  • Uma escolha natural é tomar domínio \{1,2,3\} e definir g que envia 1,2,3 respectivamente para 5,6,7. Ou seja:
    g=\{(1,5),(2,6),(3,7)\}.
  • Verificação:
    • g é função (cada elemento do domínio \{1,2,3\} tem exatamente uma imagem).
    • g é injetora (imagens 5,6,7 são distintas).
    • g é sobrejetora onto B (toda b\in B é imagem de algum a\in\{1,2,3\}).
    • Logo g é bijeção entre \{1,2,3\} e B.
  • Inversa explícita: a inversa g^{-1} é
    g^{-1}=\{(5,1),(6,2),(7,3)\},
    que é uma função de B para \{1,2,3\}\subset A.
  • Observação final: se fosse exigido que g tivesse domínio inteiro A, então seria impossível ter inversa função, por causa do argumento de cardinalidade do passo anterior. Por isso a solução correta é tomar g com domínio um subconjunto de A de tamanho igual a |B|.

Resposta

(a) Por exemplo (\square,\square)=(2,6). Então f=\{(1,5),(2,5),(2,6),(3,6)\}, que NÃO é função (o elemento 2 tem duas imagens).
(b) Por exemplo (\square,\square)=(4,5). Então f=\{(1,5),(2,5),(3,6),(4,5)\}, que é função A\to B mas NÃO é sobrejetora (não atinge 7).
(c) Por exemplo (\square,\square)=(4,7). Então f=\{(1,5),(2,5),(3,6),(4,7)\}, que é função A\to B e é sobrejetora.
(d) Mesmo escolhendo (\square,\square) para que f seja função, f não pode ser bijeção porque |A|=4 e |B|=3; por princípio da casa dos pombos nenhuma função A\to B pode ser injetora, logo não pode ser bijetora.
(e) Uma possível escolha é g=\{(1,5),(2,6),(3,7)\}\subset A\times B. g é bijeção entre \{1,2,3\} e B, e sua inversa é g^{-1}=\{(5,1),(6,2),(7,3)\}.

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