5- Sejam
e
. Seja
a relação:
em que os símbolos
e
devem ser determinadas por você. Você deve determinar três substitutos para (
) de modo que as proposições seguintes sejam verdadeiras:
a) A relação
não é uma função. Justifique
b) A relação
é uma função de
para
mas não é sobrejetora. Justifique
c) A relação
é uma função de
para
e é sobrejetora. Justifique
d) Após escolher
e
de tal forma que
seja uma função, explique por que a função
não pode ser uma bijeção. Justifique
e) Crie uma função
de tal forma que
admita a função inversa
.
a) A relação
b) A relação
c) A relação
d) Após escolher
e) Crie uma função
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
-
Conjuntos fornecidos:
-
-
A relação
é onde os símbolosdevem ser substituídos por um par ordenado da forma com e . -
O enunciado pede que eu determine três escolhas distintas para
de modo que as proposições (a), (b) e (c) sejam verdadeiras, e depois responda (d) e (e):
(a) escolherde modo que NÃO seja uma função;
(b) escolherde modo que seja uma função de para mas NÃO seja sobrejetora;
(c) escolherde modo que seja uma função de para e seja sobrejetora;
(d) depois, explicitar por que, depois de escolherde modo que seja função, não pode ser bijeção;
(e) criar uma funçãotal que admita inversa .
Passo 2
Primeiro, vamos revisar com calma (e sem pressa) as definições que precisamos — isso é essencial para justificar cada escolha.
-
Relação: uma relação
de em é qualquer subconjunto de . No nosso caso . -
Função (do tipo "de
para "): uma relação é uma função de em se e somente se para todo existe exatamente um tal que . Em palavras: cada elemento do domínio deve ter imagem única em . - “Exatamente um” implica duas condições:
- Existe pelo menos uma imagem (nenhum elemento de
fica sem imagem). - A imagem é única (um mesmo
não pode mapear para dois valores distintos).
- Existe pelo menos uma imagem (nenhum elemento de
- “Exatamente um” implica duas condições:
-
Injetora (injectiva): uma função
é injetora se elementos diferentes de têm imagens diferentes em . Formalmente: . -
Sobrejetora (sobrecetora / onto):
é sobrejetora se toda é imagem de algum . Em símbolos: tal que . -
Bijeção: função que é simultaneamente injetora e sobrejetora. Só funções bijetoras têm inversa que é também função.
-
Observação prática útil (princípio da casa dos pombos): se
então nenhuma função de para pode ser injetora (pois haveria mais “domínios” que “caixas” para colocar imagens distintas).
Agora que as definições estão frescas, vamos aplicar ao caso concreto.
Passo 3
Queremos escolher
tal que
NÃO seja função.
-
Lembrete do que já temos:
. Note que o elemento já aparece como primeiro componente em . -
Uma maneira simples de destruir a propriedade de ser função é fazer com que um mesmo elemento do domínio apareça em dois pares com imagens diferentes (violando a unicidade da imagem). Por isso escolho
-
Então a relação fica
-
Justificativa didática: agora o elemento
aparece em dois pares e . Isso contradiz a exigência “exatamente uma imagem” para cada . Logo NÃO é função, porque o mesmo possui duas imagens distintas.
Passo 4
Queremos escolher
tal que
seja função de
para
mas NÃO sobrejetora.
-
Para que
seja função de para precisamos que cada elemento de apareça exatamente uma vez como primeiro componente. Já temos 1,2,3 mapeados; falta mapear o . Logo o par extra deve ter primeiro componente . -
Para que NÃO seja sobrejetora, a imagem de
deve deixar pelo menos um elemento de sem pré-imagem. Atualmente as imagens presentes são (já aparecem e ). Se eu fizer mapear para (ou para ), então não será imagem de ninguém, e assim não será sobrejetora. -
Escolha concreta:
-
Então
-
Justificativa didática: cada elemento de
(1,2,3,4) aparece exatamente uma vez como primeiro componente, logo é função de para . Contudo o elemento não pertence à imagem , então NÃO é sobrejetora.
Passo 5
Queremos escolher
tal que
seja função de
para
e seja sobrejetora.
-
Novamente, para ser função precisamos mapear o
. Para ser sobrejetora precisamos que todos os elementos de apareçam como imagens. No conjunto atual já aparecem e , falta . -
Escolha óbvia e natural:
-
Assim
-
Justificativa didática: cada
tem exatamente uma imagem (função), e a imagem , logo é sobrejetora. Portanto é uma função e é sobrejetora.
Passo 6
Explicar por que, após escolher
de modo que
seja função,
não pode ser bijeção.
-
Vamos usar argumentos simples e contábeis:
- Temos
elementos e elementos. - Se
fosse injetora, então todos os 4 elementos de teriam imagens distintas em . Isso exigiria pelo menos 4 elementos distintos em . Mas tem apenas 3 elementos. Contradição. - Portanto nenhuma função
pode ser injetora. Como bijeção exige injetividade, nenhuma função pode ser bijeção.
- Temos
-
Outra forma (intuitiva/pombos): colocando 4 pombos (elementos de
) em 3 caixas (elementos de ), por força, duas pombos devem ficar na mesma caixa — isto é, duas entradas de têm a mesma imagem, o que impede injetividade. -
Conclusão: quaisquer escolhas de
que tornem função (como em (b) ou (c)) impedem de ser bijeção, porque .
Passo 7
Criar uma função
tal que
admita inversa
.
-
Observação importante: para que uma função tenha inversa que é também função, ela precisa ser bijetora entre seu domínio e sua imagem. Como é impossível ter bijeção entre todo
e (já vimos ), a solução é considerar uma função cujo domínio seja um subconjunto de com exatamente 3 elementos, e tal que seja uma bijeção entre esse subconjunto e . O enunciado pede apenas , não exige que o domínio seja todo . -
Uma escolha natural é tomar domínio
e definir que envia 1,2,3 respectivamente para 5,6,7. Ou seja: -
Verificação:
-
é função (cada elemento do domínio tem exatamente uma imagem). -
é injetora (imagens são distintas). -
é sobrejetora onto (toda é imagem de algum ). - Logo
é bijeção entre e .
-
-
Inversa explícita: a inversa
é que é uma função depara . -
Observação final: se fosse exigido que
tivesse domínio inteiro , então seria impossível ter inversa função, por causa do argumento de cardinalidade do passo anterior. Por isso a solução correta é tomar com domínio um subconjunto de de tamanho igual a .
Resposta
(a) Por exemplo
. Então
, que NÃO é função (o elemento
tem duas imagens).
(b) Por exemplo . Então
, que é função
mas NÃO é sobrejetora (não atinge
).
(c) Por exemplo . Então
, que é função
e é sobrejetora.
(d) Mesmo escolhendo para que
seja função,
não pode ser bijeção porque
e
; por princípio da casa dos pombos nenhuma função
pode ser injetora, logo não pode ser bijetora.
(e) Uma possível escolha é .
é bijeção entre
e
, e sua inversa é
.
(b) Por exemplo
(c) Por exemplo
(d) Mesmo escolhendo
(e) Uma possível escolha é