Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=3 a t^{2}+b t-4 c

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=3 a t^{2}+b t-4 c e pede para encontrar a derivada dessa função em relação a t.
Informações relevantes dadas: a, b e c aparecem como constantes (não dependem de t).
Pergunta clara: calcular f'(t)=\dfrac{d}{dt}f(t).

Passo 2

Vamos usar regras básicas de diferenciação que servem para funções polinomiais: a regra do poder (power rule), a regra do fator constante (constant multiple) e a linearidade (a derivada de soma é soma das derivadas). Não precisamos de regras mais avançadas porque cada termo é um monômio ou constante.

Passo 3

Regra do poder (explicação didática): para qualquer inteiro n, vale
\frac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}.
Aqui t é a variável independente e n é o expoente. Exemplo simples: \dfrac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2}.

Passo 4

Regra do fator constante e derivada de constante: se k é uma constante (não depende de t), então
\frac{d}{dt}\big(k\cdot g(t)\big)=k\cdot \frac{d}{dt}g(t).
Além disso,
\frac{d}{dt}(k)=0,
porque constantes não mudam quando t varia. E como caso particular,
\frac{d}{dt}(t)=1.

Passo 5

Aplicando as regras ao primeiro termo 3 a t^{2}: aqui 3a é uma constante (produto de constantes 3 e a). Pela regra do fator constante e do poder,
\frac{d}{dt}\big(3 a t^{2}\big)=3 a\cdot \frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=3 a\cdot (2t)=6 a t.
Detalhe: primeiro usei \frac{d}{dt}(t^{2})=2t, depois multipliquei por 3a.

Passo 6

Aplicando ao segundo termo b t: b é constante, então
\frac{d}{dt}\big(b t\big)=b\cdot \frac{d}{dt}(t)=b\cdot 1=b.

Passo 7

Aplicando ao terceiro termo -4 c: é uma constante (produto de -4 por c que é constante), portanto
\frac{d}{dt}\big(-4 c\big)=0.

Passo 8

Somando as derivadas termo a termo (linearidade):
f'(t)=\frac{d}{dt}\big(3 a t^{2}\big)+\frac{d}{dt}\big(b t\big)+\frac{d}{dt}\big(-4 c\big)=6 a t + b + 0.
Simplificando,
f'(t)=6 a t + b.

Resposta

f'(t)=6 a t + b

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