(1 ponto) Em um restaurante japonês, o tempo de espera para que os pedidos fiquem prontos variam. O garçom informa aos clientes que, durante a semana, os pedidos demoram no máximo 20 minutos. Seja Y a variável que representa o tempo de atraso (em minutos) do pedido durante a semana, assinale a alternativa correspondente a variância da variável Y.
Y 0 5 10 15 20
P(Y) 0.23 0.18 0.24 0.19 0.16
a. 9.35
b. 0.02
c. 222.67
d. 47.83
e. 135.25

Passo 1

O enunciado pede a variância da variável aleatória Y (tempo de atraso em minutos) com suporte e probabilidades dadas pela tabela. Peguei os valores da tabela do enunciado:
  • Valores de Y: 0,\;5,\;10,\;15,\;20.
  • Probabilidades: P(Y=0)=0,23, P(Y=5)=0,18, P(Y=10)=0,24, P(Y=15)=0,19, P(Y=20)=0,16.
A pergunta é: qual o valor da variância \mathrm{Var}(Y)?

Passo 2

Vamos lembrar a definição e a fórmula que vamos usar.
Para uma variável aleatória discreta Y com valores y_i e probabilidades p_i=P(Y=y_i), a esperança (valor esperado) é
\mathbb{E}[Y]=\sum_i y_i p_i,
onde y_i é cada valor possível de Y e p_i a probabilidade correspondente.
A variância é a medida do espalhamento em torno da média e pode ser calculada pela fórmula
\mathrm{Var}(Y)=\mathbb{E}[Y^2] - \big(\mathbb{E}[Y]\big)^2.
Aqui \mathbb{E}[Y^2]=\sum_i y_i^2 p_i. Vou usar exatamente essas fórmulas.

Passo 3

Calcular \mathbb{E}[Y] multiplicando cada valor por sua probabilidade e somando:
\begin{aligned} \mathbb{E}[Y] &= 0\cdot 0,23 + 5\cdot 0,18 + 10\cdot 0,24 + 15\cdot 0,19 + 20\cdot 0,16 \\\ &= 0 + 0,9 + 2,4 + 2,85 + 3,2 \\\ &= 9,35. \end{aligned}
Portanto \mathbb{E}[Y]=9,35 minutos. (Interpretação rápida: em média os pedidos atrasam 9,35 minutos.)

Passo 4

Agora calculamos \mathbb{E}[Y^2], que é necessário para a variância. Aplicamos y_i^2 p_i:
\begin{aligned} \mathbb{E}[Y^2] &= 0^2\cdot 0,23 + 5^2\cdot 0,18 + 10^2\cdot 0,24 + 15^2\cdot 0,19 + 20^2\cdot 0,16 \\\ &= 0 + 25\cdot 0,18 + 100\cdot 0,24 + 225\cdot 0,19 + 400\cdot 0,16 \\\ &= 0 + 4,5 + 24 + 42,75 + 64 \\\ &= 135,25. \end{aligned}
Portanto \mathbb{E}[Y^2]=135,25.

Passo 5

Aplicar a fórmula da variância:
\mathrm{Var}(Y)=\mathbb{E}[Y^2] - \big(\mathbb{E}[Y]\big)^2.
Substituindo os valores que achamos:
\mathrm{Var}(Y)=135,25 - (9,35)^2.

Passo 6

Calcular (9,35)^2:
(9,35)^2 = 87,4225.
Subtraindo:
\mathrm{Var}(Y)=135,25 - 87,4225 = 47,8275.
Arredondando para duas casas decimais (como nas alternativas): \mathrm{Var}(Y)\approx 47,83.
Logo a alternativa correta é a que corresponde a 47,83.

Resposta

d. 47,83

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