(1 ponto) Suponha que
dos chutes de um determinado jogador resultam em gols. Se em um determinado jogo de futebol esse jogador executou 15 chutes, qual a probabilidade deles terem resultado em mais de 1 gol ?
a. 0.751
b. 0.926
c. 0.249
d. 0.939
e. 0.812
a. 0.751
b. 0.926
c. 0.249
d. 0.939
e. 0.812
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar passo a passo):
- Probabilidade de sucesso em cada chute:
. - Número de chutes:
. - Variável aleatória: número de gols feitos em
chutes. - Pergunta: qual a probabilidade de terem resultado em mais de 1 gol? Ou seja, queremos
, onde é o número de gols nos chutes.
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula básica (explicando devagar):
- Quando temos um número fixo de tentativas independentes (
) e cada tentativa tem mesma probabilidade de sucesso, o número de sucessos segue a distribuição binomial. - A probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos é dada por
onde:
-
é o número de maneiras de escolher quais tentativas foram sucessos (coeficiente binomial), -
é a probabilidade de ter sucesso nas escolhidas, -
é a probabilidade de falha nas demais tentativas. - No nosso caso,
e .
Passo 3
Usar complemento para facilitar os cálculos:
- Calcular
somando todas as probabilidades para é possível, mas cansativo. - Use o complemento:
. - Isso é muito prático porque
e têm fórmulas simples com a binomial.
Passo 4
Calcular
e
passo a passo:
- Primeiro,
Vou manter este valor como uma aproximação numérica que calcularemos em seguida.
- Segundo,
- Note que
e compartilham . Podemos escrever a soma de forma mais compacta:
- Calcule o parêntese:
. - Portanto
Passo 5
Avaliar numericamente (aproximação com passos claros):
- Primeiro obtenha
. Usando uma aproximação numérica:
- Logo
- Agora calcule
- E
. - Soma:
Passo 6
Concluir com o complemento e interpretar o resultado:
- Então
- Arredondando para três casas decimais (como as alternativas), obtemos
. - Intuição rápida: como a chance de gol em cada chute é pequena (
), a probabilidade de 0 ou 1 gol não é tão grande, mas somadas dão cerca de , então a probabilidade de mais de 1 gol fica em torno de .
Resposta
a. 0.751