(1 ponto) Suponha que 17 \% dos chutes de um determinado jogador resultam em gols. Se em um determinado jogo de futebol esse jogador executou 15 chutes, qual a probabilidade deles terem resultado em mais de 1 gol ?
a. 0.751
b. 0.926
c. 0.249
d. 0.939
e. 0.812

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar passo a passo):
  • Probabilidade de sucesso em cada chute: \,p=17\%=0,17.
  • Número de chutes: \,n=15.
  • Variável aleatória: número de gols feitos em 15 chutes.
  • Pergunta: qual a probabilidade de terem resultado em mais de 1 gol? Ou seja, queremos \Pr(X>1), onde X é o número de gols nos 15 chutes.

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula básica (explicando devagar):
  • Quando temos um número fixo de tentativas independentes ( n) e cada tentativa tem mesma probabilidade p de sucesso, o número de sucessos X segue a distribuição binomial.
  • A probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos é dada por
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k tentativas foram sucessos (coeficiente binomial),
  • p^{k} é a probabilidade de ter sucesso nas k escolhidas,
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de falha nas demais n-k tentativas.
  • No nosso caso, n=15 e p=0,17.

Passo 3

Usar complemento para facilitar os cálculos:
  • Calcular \Pr(X>1) somando todas as probabilidades para k=2,3,\dots,15 é possível, mas cansativo.
  • Use o complemento: \Pr(X>1)=1-\Pr(X\le 1)=1-\big(\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\big).
  • Isso é muito prático porque \Pr(X=0) e \Pr(X=1) têm fórmulas simples com a binomial.

Passo 4

Calcular \Pr(X=0) e \Pr(X=1) passo a passo:
  • Primeiro,
\Pr(X=0)=(1-p)^{15}=0{,}83^{15}.
Vou manter este valor como uma aproximação numérica que calcularemos em seguida.
  • Segundo,
\Pr(X=1)=\binom{15}{1}p(1-p)^{14}=15\cdot 0{,}17\cdot 0{,}83^{14}.
  • Note que \Pr(X=0) e \Pr(X=1) compartilham 0{,}83^{14}. Podemos escrever a soma de forma mais compacta:
\Pr(X=0)+\Pr(X=1)=0{,}83^{14}\big(0{,}83 + 15\cdot 0{,}17\big).
  • Calcule o parêntese: 0{,}83 + 15\cdot 0{,}17 = 0{,}83 + 2{,}55 = 3{,}38.
  • Portanto
\Pr(X\le 1)=0{,}83^{14}\cdot 3{,}38.

Passo 5

Avaliar numericamente (aproximação com passos claros):
  • Primeiro obtenha 0{,}83^{15}. Usando uma aproximação numérica:
0{,}83^{15}\approx 0{,}0611.
  • Logo 0{,}83^{14}=0{,}83^{15}/0{,}83\approx 0{,}0611/0{,}83\approx 0{,}0736.
  • Agora calcule
\Pr(X=1)=15\cdot 0{,}17\cdot 0{,}83^{14}\approx 2{,}55\cdot 0{,}0736\approx 0{,}1877.
  • E \Pr(X=0)\approx 0{,}0611.
  • Soma:
\Pr(X\le 1)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\approx 0{,}0611+0{,}1877=0{,}2488.

Passo 6

Concluir com o complemento e interpretar o resultado:
  • Então
\Pr(X>1)=1-\Pr(X\le 1)\approx 1-0{,}2488=0{,}7512.
  • Arredondando para três casas decimais (como as alternativas), obtemos \,0{,}751.
  • Intuição rápida: como a chance de gol em cada chute é pequena ( 17\%), a probabilidade de 0 ou 1 gol não é tão grande, mas somadas dão cerca de 0{,}249, então a probabilidade de mais de 1 gol fica em torno de 0{,}751.

Resposta

a. 0.751

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