Qual o ponto da reta diagonal y=x mais próximo do ponto P=(a, b) ?.

Passo 1

O enunciado pede o ponto sobre a reta ;y=x; que fica mais próximo de um ponto dado P=(a,b).
Conteúdo: otimização no plano usando projeção ortogonal ou minimização da distância.

Passo 2

Um ponto genérico Q na reta ;y=x; pode ser escrito como Q=(t,t). A distância ao quadrado de Q até P é
D^2(t) = (t - a)^2 + (t - b)^2

Passo 3

Para achar o mínimo de D^2(t), derivamos em relação a t e igualamos a zero:
ddtD^2(t) = 2(t - a) + 2(t - b) = 0 Longrightarrow 2l(2t - (a+b)r) = 0 Longrightarrow t = a + b2

Passo 4

Substituindo t=a+b2 no ponto genérico Q=(t,t), concluímos que o ponto mais próximo é
l(tfraca+b2,,tfraca+b2r)

Resposta

O ponto da reta y=x mais próximo de P=(a,b) é l(tfraca+b2,tfraca+b2r).

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