Um ponto P=(1,2,3) é rotacionado 45^circ em torno do eixo x e, em seguida, é translacionado pelo vetor t=(l0 0 1).
  • a) Encontre a matriz de rotação Rx(45^circ).
  • b) Determine o novo ponto P^prime após a rotação.
  • c) Calcule o ponto final P^prime prime após a translação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com rotações e translações no espaço 3D. Primeiro, vamos rotacionar o ponto $ P = (1, 2, 3) $ em P = (1, 2, 3) em torno do eixo 45^circ. Depois, vamos transladar esse ponto usando o vetor x. Para isso, vamos precisar usar matrizes de rotação e entender como aplicar essas transformações passo a passo.

Passo 2

a) Encontrar a matriz de rotação $ R_{x}\left(45^{\circ}\right) $.
Para rotacionar um ponto em torno do eixo Rx(45^circ) , usamos uma matriz específica de rotação. A matriz de rotação em torno do eixo x por um ângulo x é dada por:
theta
Aqui, Rx(theta) = 1 & 0 & 0 0 & cos(theta) & -sin(theta) 0 & sin(theta) & cos(theta) . Vamos calcular os valores do cosseno e seno de theta = 45^circ:
45^circ
Substituindo esses valores na matriz:
cos(45^circ) = raiz22 e sin(45^circ) = raiz22

Passo 3

b) Determinar o novo ponto $ P^{\prime} $ após a rotação.
Agora que temos a matriz de rotação, vamos aplicá-la ao ponto $ P = (1, 2, 3) $. Primeiro, representamos $ P $ como um vetor coluna:
P^prime
Multiplicamos a matriz de rotação $ R_{x}(45^{\circ}) $ pelo vetor $ P $:
P = (1, 2, 3)
Vamos fazer a multiplicação:
P
Simplificando:
P = 1 2 3

Passo 4

c) Calcular o ponto final $ P^{\prime\prime} $ após a translação.
Agora, vamos transladar o ponto $ P^{\prime} $ usando o vetor P^primeprime . A translação é simplesmente somar o vetor de translação ao ponto:
P^prime

Resposta

O ponto final após a rotação e translação é $ P^{\prime\prime} = P^primeprime = 1 -0,707 4,536 $.

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