(1 ponto) Sabe-se que o tempo de vida útil de uma certa marca de lâmpadas é exponencialmente distríbuído com média de 22 meses. Uma empresa espera que suas lâmpadas durem pelo menos 24 meses para que seu lucro não seja prejudicado. Se a empresa utilizou lâmpadas desta marca, qual a probabilidade de que uma lâmpada, em particular, não gere prejuízo se já sobreviveu 18 meses?
a. 0.76
b. 0.24
c. 0.91
d. 0.02
e. 0.44

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi pedido):
  • O tempo de vida útil T das lâmpadas segue uma distribuição exponencial com média \,22 meses.
  • A empresa considera que não há prejuízo se a lâmpada durar pelo menos \,24 meses.
  • Sabendo que a lâmpada já sobreviveu \,18 meses, pede-se a probabilidade de que ela não gere prejuízo (ou seja, que dure pelo menos \,24 meses dado que já passou \,18 meses).
O que queremos calcular é portanto \,P(T\ge 24 \mid T>18).

Passo 2

Lembrete e fórmulas úteis sobre a distribuição exponencial (explicar com calma):
  • Para uma variável aleatória T exponencial com parâmetro de taxa \lambda>0, a média é \mathbb{E}[T]=\dfrac{1}{\lambda}. Aqui foi dada a média \,22, então \lambda=\dfrac{1}{22}.
  • A função sobrevivência (probabilidade de durar mais que t) é
S(t)=P(T>t)=e^{-\lambda t},\qquad t\ge 0.
  • A distribuição exponencial tem a propriedade “sem memória” (memoryless): para todo s,t\ge 0,
P(T>s+t \mid T>s)=P(T>t).
Isto significa, em palavras, que dado já ter sobrevivido s unidades de tempo, a probabilidade de sobreviver mais t unidades é a mesma que a probabilidade inicial de sobreviver t.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: queremos \,P(T\ge 24 \mid T>18).
Usando a definição de probabilidade condicional,
P(T\ge 24 \mid T>18)=\frac{P(T\ge 24)}{P(T>18)}.
Como P(T\ge 24)=P(T>24) para variáveis contínuas, usando a função sobrevivência temos
\frac{e^{-\lambda\cdot 24}}{e^{-\lambda\cdot 18}}=e^{-\lambda(24-18)}=e^{-\lambda\cdot 6}.
Pela propriedade sem memória isso também é igual a P(T>6): faz sentido intuitivo — dado que a lâmpada já viveu 18 meses, a chance de chegar a 24 é a mesma de uma lâmpada nova viver 6 meses.

Passo 4

Agora substituímos \lambda. Como a média é \,22 meses,
\lambda=\frac{1}{22}.
Portanto
P(T\ge 24 \mid T>18)=e^{-\frac{1}{22}\cdot 6}=e^{-\frac{6}{22}}=e^{-\frac{3}{11}}.
Calculando numericamente \frac{3}{11}\approx 0{,}272727, então
e^{-\frac{3}{11}}\approx 0{,}7607\approx 0{,}76.

Passo 5

Interpretação final e escolha da alternativa: a probabilidade pedida é aproximadamente 0{,}76, que corresponde à alternativa (a). Força aí — deu para ver que por causa da propriedade sem memória a conta fica bem simples!

Resposta

a. 0,76

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