(1 ponto) Sabe-se que o tempo de vida útil de uma certa marca de lâmpadas é exponencialmente distríbuído com média de 22 meses. Uma empresa espera que suas lâmpadas durem pelo menos 24 meses para que seu lucro não seja prejudicado. Se a empresa utilizou lâmpadas desta marca, qual a probabilidade de que uma lâmpada, em particular, não gere prejuízo se já sobreviveu 18 meses?
a. 0.76
b. 0.24
c. 0.91
d. 0.02
e. 0.44
a. 0.76
c. 0.91
d. 0.02
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi pedido):
- O tempo de vida útil
das lâmpadas segue uma distribuição exponencial com média meses. - A empresa considera que não há prejuízo se a lâmpada durar pelo menos
meses. - Sabendo que a lâmpada já sobreviveu
meses, pede-se a probabilidade de que ela não gere prejuízo (ou seja, que dure pelo menos meses dado que já passou meses).
O que queremos calcular é portanto
.
Passo 2
Lembrete e fórmulas úteis sobre a distribuição exponencial (explicar com calma):
- Para uma variável aleatória
exponencial com parâmetro de taxa , a média é . Aqui foi dada a média , então . - A função sobrevivência (probabilidade de durar mais que
) é
- A distribuição exponencial tem a propriedade “sem memória” (memoryless): para todo
,
Isto significa, em palavras, que dado já ter sobrevivido
unidades de tempo, a probabilidade de sobreviver mais
unidades é a mesma que a probabilidade inicial de sobreviver
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema: queremos
.
Usando a definição de probabilidade condicional,
Usando a definição de probabilidade condicional,
Como
para variáveis contínuas, usando a função sobrevivência temos
Pela propriedade sem memória isso também é igual a
: faz sentido intuitivo — dado que a lâmpada já viveu 18 meses, a chance de chegar a 24 é a mesma de uma lâmpada nova viver 6 meses.
Passo 4
Agora substituímos
. Como a média é
meses,
Portanto
Calculando numericamente
, então
Passo 5
Interpretação final e escolha da alternativa: a probabilidade pedida é aproximadamente
, que corresponde à alternativa (a). Força aí — deu para ver que por causa da propriedade sem memória a conta fica bem simples!
Resposta
a.