(1 ponto) Na última década ocorreu uma explosão no acesso à internet nos domicílios brasileiros. O aumento no Brasil se deve, em grande parte, à ampliação da conexão por meio de celulares e outros dispositivos móveis. Em 2018, o Governo Federal, buscando exaltar sua gestão, sugeriu que ao menos 60 \% dos domicílios do país tinham conexão. A fim de testar tal hipótese, uma pesquisa selecionou uma amostra aleatória simples de 36 domicílios no Brasil e constatou que 18 delas tinham acesso à internet. Assinale a alternativa correspondente ao p-valor do referido teste.
a. 0.4444
b. 0.8888
c. 0.0890
d. 0.7910
e. 0.1112

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o p-valor do teste:
  • Tamanho da amostra: n = 36.
  • Número de domicílios com acesso: x = 18.
  • Proporção amostral observada: \hat{p} = \dfrac{x}{n}.
  • A afirmação do Governo é “ao menos 60\% dos domicílios têm conexão”. Isso corresponde à hipótese sobre a proporção populacional p.
    A pergunta: qual é o p-valor do teste que verifica essa afirmação?

Passo 2

Formulemos as hipóteses do teste (interpretação do enunciado):
  • A afirmação "ao menos 60\%" corresponde a uma hipótese nula que assume proporção maior ou igual a 0{,}6. Para testar se a afirmação é plausível contra a suspeita de que seja menor, usamos um teste unilateral à esquerda:
H_0: p \ge 0{,}6 \qquad\text{vs.}\qquad H_a: p < 0{,}6.
Explicação didática: o p-valor mede a probabilidade, assumindo H_0 verdadeira, de observarmos uma proporção tão pequena quanto a da amostra (ou mais extrema na direção de H_a). Como H_a é “menor”, “mais extrema” significa valores menores de \hat{p}.

Passo 3

Calcule a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p}=\dfrac{x}{n}=\dfrac{18}{36}=0{,}5.
Comentário amigo: saíu exatamente 50\%. Agora vamos comparar isso com o valor nulo p_0=0{,}6.

Passo 4

Justificativa para usar aproximação normal: \hat{p} segue distribuição aproximada normal sob H_0 quando n p_0 \ge 5 e n(1-p_0)\ge5. Verificamos:
n p_0 = 36\cdot 0{,}6 = 21{,}6 \ge 5,\qquad n(1-p_0)=36\cdot 0{,}4 = 14{,}4 \ge 5.
Logo a aproximação é válida.
A distribuição amostral aproximada de \hat{p} sob H_0 tem média p_0 e desvio padrão (erro padrão)
\text{se} = \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}.
Aqui p_0=0{,}6, então vamos calcular esse erro padrão.

Passo 5

Calcule o erro padrão e o valor do estatístico z:
p_0(1-p_0)=0{,}6\cdot 0{,}4=0{,}24.
\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}=\dfrac{0{,}24}{36}=0{,}006\overline{6}.
\text{se}=\sqrt{0{,}006\overline{6}} \approx 0{,}08164966.
Agora o estatístico padronizado (z):
z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\text{se}}=\dfrac{0{,}5-0{,}6}{0{,}08164966}=\dfrac{-0{,}1}{0{,}08164966}\approx -1{,}2247449.
Explicação: o z diz quantos desvios-padrão a proporção observada está abaixo do valor sob H_0.

Passo 6

Definir e calcular o p-valor (para teste unilateral à esquerda):
  • Para um teste à esquerda, o p-valor é
\text{p-valor}=P(Z \le z_{\text{obs}}),
onde Z é padrão normal e z_{\text{obs}} é o valor calculado.
  • Usando tabela da normal ou calculadora para z\approx -1{,}2247:
\text{p-valor} \approx \Phi(-1{,}2247449)\approx 0{,}11.
Comparando com as alternativas dadas, a que mais se aproxima é a alternativa (e) 0{,}1112. Observação: calculadoras/tabuadas podem dar 0{,}1100 ou 0{,}1112 dependendo de arredondamentos; ambas são compatíveis com o z obtido. Portanto a alternativa correta é (e).

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo:
  • O p-valor é aproximadamente 0{,}11. Isso significa que, assumindo p=0{,}6, há cerca de 11\% de chance de observarmos uma proporção igual ou menor que 0{,}5 numa amostra de tamanho 36.
  • Como 0{,}11 é maior que níveis de significância comuns (por exemplo 0{,}05), não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação do Governo com esses dados. Força aí — a prova é dura, mas esse tipo de raciocínio é sempre o mesmo: calcular \hat{p}, padronizar e ler a normal.

Resposta

e. 0{,}1112

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