(1 ponto) Na última década ocorreu uma explosão no acesso à internet nos domicílios brasileiros. O aumento no Brasil se deve, em grande parte, à ampliação da conexão por meio de celulares e outros dispositivos móveis. Em 2018, o Governo Federal, buscando exaltar sua gestão, sugeriu que ao menos
dos domicílios do país tinham conexão. A fim de testar tal hipótese, uma pesquisa selecionou uma amostra aleatória simples de 36 domicílios no Brasil e constatou que 18 delas tinham acesso à internet. Assinale a alternativa correspondente ao p-valor do referido teste.
a. 0.4444
b. 0.8888
c. 0.0890
d. 0.7910
e. 0.1112
a. 0.4444
b. 0.8888
c. 0.0890
d. 0.7910
e. 0.1112
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o p-valor do teste:
- Tamanho da amostra:
. - Número de domicílios com acesso:
. - Proporção amostral observada:
. - A afirmação do Governo é “ao menos
dos domicílios têm conexão”. Isso corresponde à hipótese sobre a proporção populacional .
A pergunta: qual é o p-valor do teste que verifica essa afirmação?
Passo 2
Formulemos as hipóteses do teste (interpretação do enunciado):
- A afirmação "ao menos
" corresponde a uma hipótese nula que assume proporção maior ou igual a . Para testar se a afirmação é plausível contra a suspeita de que seja menor, usamos um teste unilateral à esquerda:
Explicação didática: o p-valor mede a probabilidade, assumindo
verdadeira, de observarmos uma proporção tão pequena quanto a da amostra (ou mais extrema na direção de
). Como
é “menor”, “mais extrema” significa valores menores de
.
Passo 3
Calcule a proporção amostral
:
Comentário amigo: saíu exatamente
. Agora vamos comparar isso com o valor nulo
.
Passo 4
Justificativa para usar aproximação normal:
segue distribuição aproximada normal sob
quando
e
. Verificamos:
Logo a aproximação é válida.
A distribuição amostral aproximada de
sob
tem média
e desvio padrão (erro padrão)
Aqui
, então vamos calcular esse erro padrão.
Passo 5
Calcule o erro padrão e o valor do estatístico
:
Agora o estatístico padronizado (z):
Explicação: o
diz quantos desvios-padrão a proporção observada está abaixo do valor sob
.
Passo 6
Definir e calcular o p-valor (para teste unilateral à esquerda):
- Para um teste à esquerda, o p-valor é
onde
é padrão normal e
é o valor calculado.
- Usando tabela da normal ou calculadora para
:
Comparando com as alternativas dadas, a que mais se aproxima é a alternativa (e)
. Observação: calculadoras/tabuadas podem dar
ou
dependendo de arredondamentos; ambas são compatíveis com o
obtido. Portanto a alternativa correta é (e).
Passo 7
Interpretação final curta e incentivo:
- O p-valor é aproximadamente
. Isso significa que, assumindo , há cerca de de chance de observarmos uma proporção igual ou menor que numa amostra de tamanho . - Como
é maior que níveis de significância comuns (por exemplo ), não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação do Governo com esses dados. Força aí — a prova é dura, mas esse tipo de raciocínio é sempre o mesmo: calcular , padronizar e ler a normal.
Resposta
e.