Considere
e
.
Ao determinar os valores de
e de
, é possível afirmar que:
◯ a)
◯ b)
◯ C)
◯ d)
◯ e)
Ao determinar os valores de
◯ a)
◯ b)
◯ C)
◯ d)
◯ e)
Passo 1
O enunciado dá duas expressões e pede que, ao determinar seus valores, escolhamos qual afirmação é verdadeira. Dados:
-
. -
.
As opções a verificar são:
- a)
- b)
- c)
- d)
- e)
Passo 2
Vamos calcular
. Primeiro expandimos o quadrado:
Logo
Agora precisamos das fórmulas básicas:
- A soma dos primeiros
inteiros é . Aqui . - A soma dos quadrados dos primeiros
inteiros é . Aqui .
Expliquei o que cada variável significa:é o número de termos somados (aqui ); é o índice da soma que varia de até .
Passo 3
Calculemos as somas numéricas com
:
e
.
Substituindo em :
Substituindo em
Faço as contas passo a passo:
Portanto
.
Passo 4
Agora calculamos
. Observe que é um produto telescópico:
Todo numerador (exceto o último) cancela com o denominador seguinte. Explicitamente, ao multiplicar, sobra apenas
Portanto
.
Passo 5
Com
e
, calculamos cada expressão das alternativas para comparar:
- Para (a):
Logo (a) é verdadeira.
- Para (b):
que não é
. Então (b) é falsa.
- Para (c):
que não é
(se interpretado como decimal) nem coincide com
se a intenção fosse outro formato. Portanto (c) é falsa.
- Para (d):
que não é
. Então (d) é falsa.
- Para (e): a opção está mal formatada como
; interpretando literalmente não corresponde ao que calculamos (nem faz sentido direto). De todo modo, com e não há correspondência com . Então (e) é falsa.
Passo 6
Concluímos que apenas a alternativa (a) está correta, porque
coincide exatamente com o cálculo.
Resposta
(a)