Considere A=\sum_{k=1}^{6}(k+2)^{2} e B=\prod_{i=1}^{6}\left(\frac{i+1}{i}\right).
Ao determinar os valores de A e de B, é possível afirmar que:
◯ a) A+B=206
◯ b) B-A=-129
◯ C) B \cdot A=1.399
◯ d) A-B=129
◯ e) A \quad B=1.933

Passo 1

O enunciado dá duas expressões e pede que, ao determinar seus valores, escolhamos qual afirmação é verdadeira. Dados:
  • A=\sum_{k=1}^{6}(k+2)^{2}.
  • B=\prod_{i=1}^{6}\left(\dfrac{i+1}{i}\right).
As opções a verificar são:
  • a) A+B=206
  • b) B-A=-129
  • c) B\cdot A=1.399
  • d) A-B=129
  • e) A \quad B=1.933

Passo 2

Vamos calcular A. Primeiro expandimos o quadrado:
(k+2)^2 = k^2 + 4k + 4.
Logo
A=\sum_{k=1}^{6}(k^2+4k+4)=\sum_{k=1}^{6}k^2 + 4\sum_{k=1}^{6}k + \sum_{k=1}^{6}4.
Agora precisamos das fórmulas básicas:
  • A soma dos primeiros n inteiros é \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}. Aqui n=6.
  • A soma dos quadrados dos primeiros n inteiros é \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. Aqui n=6.
    Expliquei o que cada variável significa: n é o número de termos somados (aqui 6); k é o índice da soma que varia de 1 até n.

Passo 3

Calculemos as somas numéricas com n=6:
\sum_{k=1}^{6}k=\frac{6\cdot7}{2}=21,
\sum_{k=1}^{6}k^2=\frac{6\cdot7\cdot13}{6}=91,
e \sum_{k=1}^{6}4=6\cdot4=24.
Substituindo em A:
A=91 + 4\cdot21 + 24.
Faço as contas passo a passo:
4\cdot21=84,
91+84=175,
175+24=199.
Portanto \displaystyle A=199.

Passo 4

Agora calculamos B. Observe que é um produto telescópico:
B=\prod_{i=1}^{6}\frac{i+1}{i}=\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{7}{6}.
Todo numerador (exceto o último) cancela com o denominador seguinte. Explicitamente, ao multiplicar, sobra apenas
B=\frac{7}{1}=7.
Portanto \displaystyle B=7.

Passo 5

Com A=199 e B=7, calculamos cada expressão das alternativas para comparar:
  • Para (a):
A+B=199+7=206.
Logo (a) é verdadeira.
  • Para (b):
B-A=7-199=-192,
que não é -129. Então (b) é falsa.
  • Para (c):
B\cdot A=7\cdot199=1393,
que não é 1{,}399 (se interpretado como decimal) nem coincide com 1393 se a intenção fosse outro formato. Portanto (c) é falsa.
  • Para (d):
A-B=199-7=192,
que não é 129. Então (d) é falsa.
  • Para (e): a opção está mal formatada como A \quad B=1.933; interpretando literalmente não corresponde ao que calculamos (nem faz sentido direto). De todo modo, com A=199 e B=7 não há correspondência com 1{,}933. Então (e) é falsa.

Passo 6

Concluímos que apenas a alternativa (a) está correta, porque A+B=206 coincide exatamente com o cálculo.

Resposta

(a)

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