(1 ponto) Em um estudo sobre as condições de saúde de certa comunidade, deseja-se estimar o número médio de remédios diferentes consumidos por pessoa por ano. A partir de pesquisas anteriores, assume-se que o desvio padrão populacional da quantidade de remédios consumida por um indivíduo é 3.7. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que, com confiança de 95 \%, a média amostral não difira da média populacional por mais de 0.5 unidades?
a. 232
b. 132
c. 53
d. 148
e. 211

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá (peguei estes dados do enunciado / imagem):
  • Pede o tamanho mínimo da amostra para que a média amostral não difira da média populacional por mais de 0,5 unidades com confiança de 95\%.
  • Informação fornecida: o desvio padrão populacional é \sigma = 3,7.
  • Margem máxima permitida (erro amostral): E = 0,5.
  • Nível de confiança: 1-\alpha = 0,95 (logo \alpha = 0,05).

Passo 2

Qual fórmula usar e por que ela vale: explicação didática.
  • Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e queremos construir um intervalo de confiança para a média com nível de confiança 1-\alpha, a margem de erro E do intervalo é dada por
E = z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • E é a margem de erro máxima permitida (neste problema E=0,5);
  • z_{1-\frac{\alpha}{2}} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à probabilidade acumulada 1-\frac{\alpha}{2} (por exemplo, para 95\% de confiança usamos z_{0,975});
  • \sigma é o desvio padrão populacional conhecido;
  • n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • Essa fórmula vem da distribuição amostral da média: \bar{X} tem desvio padrão \sigma/\sqrt{n}, e o multiplicador z define o número de desvios-padrão que cobre a probabilidade desejada.

Passo 3

Isolar n na fórmula.
  • Partindo de
E = z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
isola-se \sqrt{n}:
\sqrt{n} = z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{E}.
  • Elevando ao quadrado,
n = \left(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sigma}{E}\right)^{2}.
  • Explicação das variáveis novamente: para calcular n precisamos de z_{1-\frac{\alpha}{2}}, \sigma e E, todos conhecidos ou deduzidos do enunciado.

Passo 4

Escolher o valor de z_{1-\frac{\alpha}{2}} para 95\% de confiança.
  • Para 1-\alpha=0,95 temos \alpha=0,05 e 1-\frac{\alpha}{2}=0,975.
  • O quantil da normal padrão tal que P(Z\le z_{0,975})=0,975 é z_{0,975}=1,96 (valor tabelado da normal padrão).
  • Então usaremos z_{1-\frac{\alpha}{2}} = 1,96.

Passo 5

Substituir os números e calcular passo a passo (usei \sigma=3,7 e E=0,5 fornecidos no enunciado/imagem).
  • Primeiro calcule o produto z\cdot\sigma:
1,96 \times 3,7 = 7,252.
  • Em seguida divida por E:
\frac{7,252}{0,5} = 14,504.
  • Agora eleve ao quadrado para obter n:
n = (14,504)^{2} = 210,366016\ldots

Passo 6

Regra de arredondamento para tamanho de amostra.
  • Como n deve ser um número inteiro e queremos garantir que a margem de erro não exceda E, sempre arredondamos o resultado para cima (ceiling). Assim, mesmo que o cálculo dê 210,366\ldots, o tamanho mínimo de amostra que assegura a precisão é n = 211.

Passo 7

Escolha da alternativa correta entre as opções dadas.
  • A alternativa que corresponde a n=211 é a alternativa (e).

Resposta

e. 211

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