(1 ponto) Em um estudo sobre as condições de saúde de certa comunidade, deseja-se estimar o número médio de remédios diferentes consumidos por pessoa por ano. A partir de pesquisas anteriores, assume-se que o desvio padrão populacional da quantidade de remédios consumida por um indivíduo é 3.7. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra para que, com confiança de
, a média amostral não difira da média populacional por mais de 0.5 unidades?
a. 232
b. 132
c. 53
d. 148
e. 211
a. 232
b. 132
c. 53
d. 148
e. 211
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá (peguei estes dados do enunciado / imagem):
- Pede o tamanho mínimo da amostra para que a média amostral não difira da média populacional por mais de
unidades com confiança de . - Informação fornecida: o desvio padrão populacional é
. - Margem máxima permitida (erro amostral):
. - Nível de confiança:
(logo ).
Passo 2
Qual fórmula usar e por que ela vale: explicação didática.
- Quando o desvio padrão populacional
é conhecido e queremos construir um intervalo de confiança para a média com nível de confiança , a margem de erro do intervalo é dada por
onde:
-
é a margem de erro máxima permitida (neste problema ); -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à probabilidade acumulada (por exemplo, para de confiança usamos ); -
é o desvio padrão populacional conhecido; -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar. - Essa fórmula vem da distribuição amostral da média:
tem desvio padrão , e o multiplicador define o número de desvios-padrão que cobre a probabilidade desejada.
Passo 3
Isolar
na fórmula.
- Partindo de
isola-se
:
- Elevando ao quadrado,
- Explicação das variáveis novamente: para calcular
precisamos de , e , todos conhecidos ou deduzidos do enunciado.
Passo 4
Escolher o valor de
para
de confiança.
- Para
temos e . - O quantil da normal padrão tal que
é (valor tabelado da normal padrão). - Então usaremos
.
Passo 5
Substituir os números e calcular passo a passo (usei
e
fornecidos no enunciado/imagem).
- Primeiro calcule o produto
:
- Em seguida divida por
:
- Agora eleve ao quadrado para obter
:
Passo 6
Regra de arredondamento para tamanho de amostra.
- Como
deve ser um número inteiro e queremos garantir que a margem de erro não exceda , sempre arredondamos o resultado para cima (ceiling). Assim, mesmo que o cálculo dê , o tamanho mínimo de amostra que assegura a precisão é .
Passo 7
Escolha da alternativa correta entre as opções dadas.
- A alternativa que corresponde a
é a alternativa (e).
Resposta
e.