( 1 ponto) Sabendo-se que
e que
determine
e então deduza a expressão de
em função de
. Use o método da indução para confirmar seu palpite. Respostas sem justificativa ou com justificativas erradas serão desconsideradas.
Passo 1
O enunciado nos dá a condição inicial
e a relação de recorrência
O objetivo é primeiro calcular explicitamente
, depois descobrir uma fórmula geral para
em função de
e, por fim, provar essa fórmula por indução.
Passo 2
Da relação
isolamos
Usando
:
Passo 3
Observando os valores
vemos que eles coincidem com a sequência
pois:
Portanto, o palpite para a fórmula geral é
Passo 4
Agora confirmamos por indução em
:
Base (
):
logo a fórmula vale para
.
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Então, usando a recorrência,
Isso fecha o passo indutivo. Assim, por indução, a fórmula é válida para todo
.
Resposta
Em geral,