(Valor: 2,0 pontos) Seja a série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}.
a) (1 ponto) Mostre que a série satisfaz o Critério da série alternada (ou Critério de Leibniz).
b) (1 ponto) Determine o valor aproximado para o qual ela converge cometendo um erro menor que 1 / 5. (Expresse o valor com todas as parcelas envolvidas mas não efetue a sona.)

Passo 1

O enunciado pede para a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}
a) mostrar que ela satisfaz o Critério de Leibniz (série alternada convergente) e
b) encontrar uma soma aproximada com erro menor que 1/5, expressando a soma parcial com todas as parcelas mas sem efetuar o valor numérico.

Passo 2

Defina
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}\qquad(n\ge0).
Então a_{n}>0. Para mostrar que \{a_{n}\} é decrescente, considere a função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}},\quad x\ge0.
Temos
f'(x)=-\,\frac{x}{(x^{2}+1)^{3/2}}<0\quad\text{para }x>0,
logo f é estritamente decrescente e, em particular, a_{n+1}\le a_{n}. Além disso,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}=0.

Passo 3

Como \{a_{n}\} é positiva, decrescente e tende a zero, o Critério de Leibniz garante que
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}
converge.

Passo 4

Para o erro de truncamento R_{N}=S-S_{N} valermos
|R_{N}|\le a_{N+1},
queremos a_{N+1}<\tfrac{1}{5}, ou seja
\frac{1}{\sqrt{(N+1)^{2}+1}}<\frac{1}{5} \;\Longleftrightarrow\; (N+1)^{2}+1>25 \;\Longleftrightarrow\; (N+1)^{2}>24 \;\Longrightarrow\; N+1\ge5 \;\Longrightarrow\; N\ge4.
Portanto basta truncar em N=4.

Passo 5

A soma parcial até n=4 é
S_{4}=\sum_{n=0}^{4}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{2}+1}} =1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{17}},
e o resto satisfaz
|R_{4}|\le\frac{1}{\sqrt{5^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{26}}<\frac{1}{5}.

Resposta

(a) A série alternada converge pelo Critério de Leibniz, pois a_{n}>0, a_{n+1}\le a_{n} e \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
(b) Para erro menor que 1/5 tomamos
S_{4} =1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{17}},
com
|R_{4}|\le\frac{1}{\sqrt{26}}<\frac{1}{5}.

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