(Valor: 2,0 pontos) Seja a série
.
a) (1 ponto) Mostre que a série satisfaz o Critério da série alternada (ou Critério de Leibniz).
b) (1 ponto) Determine o valor aproximado para o qual ela converge cometendo um erro menor que
. (Expresse o valor com todas as parcelas envolvidas mas não efetue a sona.)
a) (1 ponto) Mostre que a série satisfaz o Critério da série alternada (ou Critério de Leibniz).
b) (1 ponto) Determine o valor aproximado para o qual ela converge cometendo um erro menor que
Passo 1
O enunciado pede para a série
a) mostrar que ela satisfaz o Critério de Leibniz (série alternada convergente) e
b) encontrar uma soma aproximada com erro menor que , expressando a soma parcial com todas as parcelas mas sem efetuar o valor numérico.
b) encontrar uma soma aproximada com erro menor que
Passo 2
Defina
Então
. Para mostrar que
é decrescente, considere a função
Temos
logo
é estritamente decrescente e, em particular,
. Além disso,
Passo 3
Como
é positiva, decrescente e tende a zero, o Critério de Leibniz garante que
converge.
Passo 4
Para o erro de truncamento
valermos
queremos
, ou seja
Portanto basta truncar em
.
Passo 5
A soma parcial até
é
e o resto satisfaz
Resposta
(a) A série alternada converge pelo Critério de Leibniz, pois
,
e
.
(b) Para erro menor que tomamos
(b) Para erro menor que
com