A integral:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{d}} d x
Converge para quais valores de d.

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de d a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{d}} \, dx
é convergente. Trata-se de uma integral de tipo I (limite no infinito) e usamos o conceito de p-integral.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral propriamente dita:
\int_{1}^{\infty} x^{-d} \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{1}^{A} x^{-d} \, dx.

Passo 3

Para d \neq 1, calculamos a primitiva de x^{-d}:
\int x^{-d} \, dx = \frac{x^{-d+1}}{-d+1}.

Passo 4

Avaliamo-la entre 1 e A:
\int_{1}^{A} x^{-d} \, dx = \left.\frac{x^{-d+1}}{-d+1}\right|_{1}^{A} = \frac{A^{-d+1}-1}{-d+1}.
Agora tomamos o limite A\to\infty:
  • Se -d+1<0 (isto é, d>1), então A^{-d+1}\to0 e a integral converge para \frac{1}{d-1}.
  • Se -d+1>0 (isto é, d<1), então A^{-d+1}\to\infty e diverge.

Passo 5

Falta tratar d=1 como caso especial:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{A\to\infty} \ln A = \infty,
logo diverge.

Resposta

A integral converge se, e somente se, d>1.

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