A integral:
Converge para quais valores de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a integral imprópria
é convergente. Trata-se de uma integral de tipo I (limite no infinito) e usamos o conceito de p-integral.
Passo 2
Reescrevemos a integral como limite de uma integral propriamente dita:
Passo 3
Para
, calculamos a primitiva de
:
Passo 4
Avaliamo-la entre
e
:
Agora tomamos o limite
:
- Se
(isto é, ), então e a integral converge para . - Se
(isto é, ), então e diverge.
Passo 5
Falta tratar
como caso especial:
logo diverge.
Resposta
A integral converge se, e somente se,
.