( 1 ponto) Sabendo-se que a_{0}=1 e que (n+1) a_{n+1}=3 a_{n} determine a_{1} \cdots a_{5} e então deduza a expressão de a_{n} em função de n. Use o método da indução para confirmar seu palpite. Respostas sem justificativa ou com justificativas erradas serão desconsideradas.

Passo 1

O enunciado nos dá a condição inicial a_{0}=1 e a relação de recorrência
(n+1)\,a_{n+1}=3\,a_{n}.
O objetivo é primeiro calcular explicitamente a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}, depois descobrir uma fórmula geral para a_{n} em função de n e, por fim, provar essa fórmula por indução.

Passo 2

Da relação (n+1)\,a_{n+1}=3\,a_{n} isolamos
a_{n+1}=\frac{3}{n+1}\,a_{n}.
Usando a_{0}=1:
a_{1}=\frac{3}{1}\,a_{0}=\frac{3}{1}\cdot1=3,
a_{2}=\frac{3}{2}\,a_{1}=\frac{3}{2}\cdot3=\frac{9}{2},
a_{3}=\frac{3}{3}\,a_{2}=\frac{3}{3}\cdot\frac{9}{2}=\frac{9}{2},
a_{4}=\frac{3}{4}\,a_{3}=\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{2}=\frac{27}{8},
a_{5}=\frac{3}{5}\,a_{4}=\frac{3}{5}\cdot\frac{27}{8}=\frac{81}{40}.

Passo 3

Observando os valores
a_{1}=3,\quad a_{2}=\frac{9}{2},\quad a_{3}=\frac{9}{2},\quad a_{4}=\frac{27}{8},\quad a_{5}=\frac{81}{40},
vemos que eles coincidem com a sequência
\frac{3^{n}}{n!}
pois:
\frac{3^{1}}{1!}=3,\quad \frac{3^{2}}{2!}=\frac{9}{2},\quad \frac{3^{3}}{3!}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2},\\ \dots
Portanto, o palpite para a fórmula geral é
a_{n}=\frac{3^{n}}{n!}.

Passo 4

Agora confirmamos por indução em n:
Base ( n=0):
a_{0}=1 \quad\text{e}\quad \frac{3^{0}}{0!}=\frac{1}{1}=1,
logo a fórmula vale para n=0.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge0 valha
a_{k}=\frac{3^{k}}{k!}.
Então, usando a recorrência,
a_{k+1} =\frac{3}{k+1}\,a_{k} =\frac{3}{k+1}\cdot\frac{3^{k}}{k!} =\frac{3^{k+1}}{(k+1)!}.
Isso fecha o passo indutivo. Assim, por indução, a fórmula é válida para todo n\ge0.

Resposta

a_{1}=3, a_{2}=\tfrac{9}{2}, a_{3}=\tfrac{9}{2}, a_{4}=\tfrac{27}{8}, a_{5}=\tfrac{81}{40}.
Em geral,
a_{n}=\frac{3^{n}}{n!}.

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