Estude as integrais a seguir quanto a sua convergência.
\int_{1}^{\infty} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \ln(x)\,dx.
O conteúdo é análise de integrais impróprias em intervalo infinito. Vamos reescrever a integral como limite, encontrar a primitiva de \ln(x) e verificar o comportamento quando o limite superior tende a infinito.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral própria:
\int_{1}^{\infty} \ln(x)\,dx =\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\ln(x)\,dx.

Passo 3

Calculamos uma primitiva de \ln(x). Usamos integração por partes, escolhendo
u=\ln(x),\quad dv=dx
du=\frac1x\,dx,\quad v=x.
Logo,
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - \int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx = x\ln(x) - x + C.

Passo 4

Substituímos na integral com limite:
\int_{1}^{b}\ln(x)\,dx =\bigl[x\ln(x)-x\bigr]_{1}^{b} =\bigl(b\ln(b)-b\bigr)-\bigl(1\cdot\ln(1)-1\bigr) =b\ln(b)-b+1.
Agora fazemos b\to\infty. Note que b\ln(b)\to\infty mais rápido que b, então
\lim_{b\to\infty}\bigl(b\ln(b)-b+1\bigr)=+\infty.

Passo 5

Como o valor da integral tende a +\infty, ela não converge para um número finito.

Resposta

A integral diverge (é divergente para +\infty).

Exercícios relacionados