1. (1,0 ponto) Os seguintes limites NÃO existem, EXCETO:
    a) lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2
    b) lim (x, y) (0,0) x y^2x^2+y^4
    c) lim (x, y) (0,0) x yx^2+y^2
    d) lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar qual dos limites
lim(x,y)to(0,0)3x^2yx^2+y^2, lim(x,y)to(0,0)xy^2x^2+y^4, lim(x,y)to(0,0)xyx^2+y^2, lim(x,y)to(0,0)x^2-y^2x^2+y^2
existe. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar argumentos de paths (caminhos) e coordenadas polares para checar existência.

Passo 2

Analisando lim(x,y)to(0,0)3x^2yx^2+y^2, usemos coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta). Então o numerador vira 3r^3cos^2thetasintheta e o denominador r^2. Logo,
3x^2yx^2+y^2 = 3r^3cos^2thetasinthetar^2 =3rcos^2thetasintheta
Como limrto03rcos^2thetasintheta=0 para todo theta, o limite existe e vale 0.

Passo 3

Para lim(x,y)to(0,0)xy^2x^2+y^4, observemos dois caminhos:
  1. Se x=0, o quociente é 0.
  2. Se x=y^2, o quociente é
y^2cdot y^2y^4+y^4 =y^42y^4=12
Como obtemos 0 e tfrac12 por caminhos diferentes, o limite não existe.

Passo 4

Para lim(x,y)to(0,0)xyx^2+y^2, façamos y=mx. Então
xyx^2+y^2 =m x^2x^2(1+m^2) =m1+m^2,
que depende de m. Como o valor muda conforme o caminho, o limite não existe.

Passo 5

Para lim(x,y)to(0,0)x^2-y^2x^2+y^2, tomemos
  • y=0: o quociente é x^2x^2=1.
  • x=0: o quociente é -y^2y^2=-1.
    Como obtemos 1 e -1, o limite não existe.

Resposta

(a) existe e vale 0.
(b), (c) e (d) não existem.

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