(1,0 ponto) Seja beta=v1, v2, v3 subset C^3, onde v1=(1,0,-i), v2=(1+i, 1-i, 1) e v3=(i, i, i). Mostre que beta é uma C-base de C^3. Encontre as coordenadas de um vetor (a, b, c) in C^3 em relação a esta base.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
v1=(1,0,-i), v2=(1+i,,1-i,,1), v3=(i,i,i)
em C^3 e pede para mostrar que beta=v1,v2,v3 é uma base sobre C e encontrar as coordenadas de (a,b,c)inC^3 nessa base.
Conteúdo: critérios de base em espaços vetoriais de dimensão 3 (independência linear ou determinante não nulo) e resolução de sistema linear para achar coordenadas.

Passo 2

Para verificar independência linear montamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3:
M= 1 & 1+i & i 0 & 1-i & i -,i & 1 & i
Calculamos det M por expansão na primeira linha:
det M =1cdotdet!1-i & i1 & i -(1+i)cdotdet!0 & i-i & i + icdotdet!0 & 1-i-i & 1
Agora cada menor:
det!1-i & i1 & i =(1-i)i - icdot1 =1,
det!0 & i-i & i =0cdot i - icdot(-i)=i^2=-1,
det!0 & 1-i-i & 1 =0cdot1 - (1-i)(-i)=i(1-i)=i - i^2=1+i
Logo
det M = 1 - (1+i)(-1) + i(1+i) =1 +1+i + i + i^2 =1+1+i+i-1=1+2ineq0
Como det Mneq0, os vetores são linearmente independentes e, sendo três vetores em C^3, formam base.

Passo 3

Para achar as coordenadas de (a,b,c) em relação a beta escrevemos
(a,b,c)=alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3
Isto dá o sistema em alpha1,alpha2,alpha3:
alpha1+(1+i)alpha2+i,alpha3=a, ;;(1-i)alpha2+i,alpha3=b, -,i,alpha1+alpha2+i,alpha3=c

Passo 4

Da segunda equação isolamos alpha3:
i,alpha3=b-(1-i)alpha2 Longrightarrow alpha3=(1+i)alpha2-i,b

Passo 5

Substituímos esse alpha3 na primeira e na terceira equações e resolvemos por eliminação. Após simplificar e eliminar denominadores chegamos a
alpha2=(a+b-2c)-i,(2a+c-3b)5, alpha1=(a+b-2c)-i,(2a+2b-4c)5,
alpha3=(3a-2b-c)-i,(a+b+3c)5

Resposta

As coordenadas de (a,b,c) na base beta são
boxed l[,(a,b,c)r]beta =l(,alpha1,,alpha2,,alpha3r),
onde
alpha1=(a+b-2c)-i,(2a+2b-4c)5, alpha2=(a+b-2c)-i,(2a+c-3b)5, alpha3=(3a-2b-c)-i,(a+b+3c)5

Exercícios relacionados