Resolva:
y^prime+a y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
y' + a,y = x
Esse tipo de equação se resolve com o método do fator integrante, já que temos coeficiente constante a e termo não homogêneo x.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral a,dx = e^ax
Multiplicando a equação original por mu(x) vem
e^axy' + a,e^axy = x,e^ax,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada
ddxl(e^axyr) = x,e^ax

Passo 3

Integramos ambos os lados em x:
integral ddxl(e^axyr),dx = integral x,e^ax,dx
Para a integral à direita usamos parte por parte com u=x e dv=e^axdx, obtendo
integral x,e^ax,dx = xae^ax - integral 1ae^ax,dx = xae^ax - 1a^2e^ax + C
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e^axy = e^axl(tfracxa-tfrac1a^2r) + C,
e isolando y:
y(x) = xa - 1a^2 + Ce^-ax

Resposta

y(x) = xa - 1a^2 + Ce^-ax

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