Resolva:
x y^prime-y=x^2 cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,y' - y = x^2cos x
Este é um caso de equação linear em y. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
y' - 1x,y = xcos x
Aqui dividimos tudo por x (supondo xneq0).

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral -1x,dxr) = exp(-ln x) = x^-1

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(x)=x^-1:
x^-1y' - x^-2y = cos x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de tfracyx, pois
ddxl(yxr) = x^-1y' - x^-2y

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
ddxl(yxr) = cos x Longrightarrow yx = integral cos x,dx = sin x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y = xl(sin x + Cr) = xsin x + Cx

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = xsin x + Cx,
com C constante arbitrária.

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