Q1
Seja x=g(y) uma função contínua no intervalo c, d cujo gráfico descreve o arco C D, em que C(g(c), c) e D(g(d), d). Mostre que seu comprimento é dado por
ell(g, c, d)=integralc^d raiz1+[g^prime(y)]^2 d y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o comprimento do arco da curva definida por x=g(y) em yin[c,d] é
ell(g,c,d)=integralc^draiz1+l[g'(y)r]^2,dy
O plano é aproximar o arco por um polígono cujos vértices estão em l(g(yi),yir) e levar o número de subintervalos a infinito.

Passo 2

Dividimos em subintervalos de pontos
Em cada subintervalo, aproximamos o arco pelo segmento que une
Pela fórmula da distância no plano,
onde e . Logo
Somando sobre , o comprimento aproximado é

Passo 3

Como é diferenciável, pelo Teorema de Lagrange existe tal que
Então
Quando a malha , essa soma é exatamente a soma de Riemann da função em . Portanto,

Resposta

ell(g,c,d)=integralc^draiz1+l[g'(y)r]^2,dy

Exercícios relacionados