Q1
Seja
uma função contínua no intervalo
cujo gráfico descreve o arco
, em que
e
. Mostre que seu comprimento é dado por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o comprimento do arco da curva definida por
em
é
O plano é aproximar o arco por um polígono cujos vértices estão em
e levar o número de subintervalos a infinito.
Passo 2
Dividimos
em
subintervalos de pontos
Em cada subintervalo, aproximamos o arco pelo segmento que une
Pela fórmula da distância no plano,
onde e . Logo
Somando sobre
, o comprimento aproximado é
Passo 3
Como
é diferenciável, pelo Teorema de Lagrange existe
tal que
Então
Quando a malha , essa soma é exatamente a soma de Riemann da função
em
. Portanto,