- (1,5 ponto) Seja uma economia habitada por
indivíduos, indexados por
. Nesta economia existem três bens, cujos preços são
e
. O indivíduo
possui dotação (exógena)
do bem
. A demanda do indivíduo
pelo bem
é dada por:
O mercado do bem
está em equilíbrio quando a sua demanda é igual à sua oferta, ou seja:
Com base nessas informações, e tendo em mente que os sobrescritos acima são índices ao invés de expoentes, responda:
(a) (1,0 ponto) Existe um vetor de preços
que equilibra todos os mercados simult aneamente? Caso esse vetor exista, ele é único? Explique.
(b) ( 0,5 ponto) Que restrição deve ser imposta sobre as dotações iniciais totais (
) para que exista um equilibrio em que
?
(a) (1,0 ponto) Existe um vetor de preços
(b) ( 0,5 ponto) Que restrição deve ser imposta sobre as dotações iniciais totais (
Passo 1
O enunciado descreve uma economia com
indivíduos e três bens de preços
. Cada indivíduo
tem dotação exógena
e demanda
O equilíbrio exige que, para cada bem
,
Vamos verificar sob que condições existe
que satisfaça simultaneamente essas três igualdades.
Passo 2
Calculemos a demanda agregada pelo bem
:
Como
etc., definimos o valor agregado total
Logo
independente de
.
Passo 3
Para ter equilíbrio em cada mercado
, precisamos de
isto é,
Isso implica que
, pois o lado esquerdo não depende de
.
Passo 4
Conclusões sobre existência e unicidade de
:
- Se
, existe sim equilíbrio de mercado. - A condição não fixa um único vetor
; apenas fixa a razão
mas qualquer
positivo (até escala) satisfaz
. Assim, os preços são determinados somente em termos de proporções e não de valores absolutos (equilíbrio de preços único até multiplicação por escalar).
Passo 5
Para a parte (b): se quisermos um equilíbrio em que
, então
Para haver equilíbrio precisamos que
ou seja,
.
Resposta
(a) Existe vetor de preços de equilíbrio somente se
. Nesse caso o equilíbrio é determinado apenas pelas proporções de preços, não sendo único em valor absoluto (apenas até multiplicação por escalar).
(b) A restrição é
(b) A restrição é